Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét ba điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ thỏa mãn $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1.$ Biết rằng mặt cầu $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là 4. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 5.
Theo phương trình đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Với giả thiết $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$. Ta thấy mặt phẳng luôn đi qua điểm $H(1;-1;1)$.
Mặt cầu $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25$ có tâm $I(2;1;3),{{R}_{mc}}=5$.
Ta gọi K là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(ABC)$.
$IK=\sqrt{R_{mc}^{2}-{{r}^{2}}}=3$ và ta thấy $IH=3$ và $IH\ge IK$ nên ta có $H$ trùng với điểm $K$.
$(ABC)$ qua $H(1;-1;1)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{HI}=(1;2;2)$ $\Rightarrow x+2y+2z-1=0\Rightarrow \dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=1$.
Vậy $a+b+c=2$.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 5.
Theo phương trình đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Với giả thiết $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$. Ta thấy mặt phẳng luôn đi qua điểm $H(1;-1;1)$.
Mặt cầu $(S):{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=25$ có tâm $I(2;1;3),{{R}_{mc}}=5$.
Ta gọi K là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $(ABC)$.
$IK=\sqrt{R_{mc}^{2}-{{r}^{2}}}=3$ và ta thấy $IH=3$ và $IH\ge IK$ nên ta có $H$ trùng với điểm $K$.
$(ABC)$ qua $H(1;-1;1)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{HI}=(1;2;2)$ $\Rightarrow x+2y+2z-1=0\Rightarrow \dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=1$.
Vậy $a+b+c=2$.
Đáp án B.