Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( 1; 1; -1 \right)$, $B\left( -1; 1; 1 \right)$ và tạo với mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ một góc $\alpha $ biết $\text{cos}\alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
A. $(P): x+y+z-1=0$ hoặc $ \left( P \right):x-y-z-1=0$.
B. $(P): x-y+z-1=0$ hoặc $ \left( P \right):x-y+z+1=0$.
C. $(P): x+y+z+1=0$ hoặc $ \left( P \right):x-y+z+1=0$.
D. $(P): x+y+z-1=0$ hoặc $ \left( P \right):x-y+z+1=0$.
A. $(P): x+y+z-1=0$ hoặc $ \left( P \right):x-y-z-1=0$.
B. $(P): x-y+z-1=0$ hoặc $ \left( P \right):x-y+z+1=0$.
C. $(P): x+y+z+1=0$ hoặc $ \left( P \right):x-y+z+1=0$.
D. $(P): x+y+z-1=0$ hoặc $ \left( P \right):x-y+z+1=0$.
Gọi $\vec{n}=\left( a; b; c \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.
Khi đó phương trình $\left( P \right): a x+by+cz+d=0$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;1;-1 \right)\in \left( P \right) \\
& B\left( -1;1;1 \right)\in \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b-c+d=0 \\
& -a+b+c+d=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& a=c \\
& d=-b \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \vec{n}=\left( a; b; a \right)$.
Theo giả thiết $\text{cos}\alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}.\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow a=\pm b$.
Với $a=b$ nên ta chọn $a=1$ ta có $a=b=c=1$ ; $d=-1$.
Với $a=-b$ nên ta chọn $a=1$ ta có $a=1$ ; $b=-1$ ; $c=1$ ; $d=1$.
Khi đó $(P): x+y+z-1=0$ hoặc $ \left( P \right):x-y+z+1=0$.
Khi đó phương trình $\left( P \right): a x+by+cz+d=0$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1;1;-1 \right)\in \left( P \right) \\
& B\left( -1;1;1 \right)\in \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b-c+d=0 \\
& -a+b+c+d=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ đó ta có $\left\{ \begin{aligned}
& a=c \\
& d=-b \\
\end{aligned} \right. $ nên $ \vec{n}=\left( a; b; a \right)$.
Theo giả thiết $\text{cos}\alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}.\sqrt{{{0}^{2}}+{{0}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow a=\pm b$.
Với $a=b$ nên ta chọn $a=1$ ta có $a=b=c=1$ ; $d=-1$.
Với $a=-b$ nên ta chọn $a=1$ ta có $a=1$ ; $b=-1$ ; $c=1$ ; $d=1$.
Khi đó $(P): x+y+z-1=0$ hoặc $ \left( P \right):x-y+z+1=0$.
Đáp án D.