Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{z+4}{-5}$ và ${d}':\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-4}{-2}=\dfrac{z-4}{-1}$.
A. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
B. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{4}$.
C. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{2}$.
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{1}$.
A. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
B. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{4}$.
C. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{2}$.
D. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{1}$.
Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2 ;3 ;-5 \right)$.
Đường thẳng ${d}'$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left( 3 ;-2 ;-1 \right)$.
Gọi $M\in d$ suy ra $M\left( 2+2m;3+3m;-4-5m \right)$ và $N\in {d}'$ suy ra $N\left( -1+3n;4-2n;4-n \right)$.
Từ đó ta có $\overrightarrow{MN}=\left( -3+3n-2m;1-2n-3m;8-n+5m \right)$.
Do $MN$ là đường vuông góc chung của $d$ và ${d}'$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& MN\bot d \\
& MN\bot {d}' \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\left( -3+3n-2m \right)+3.\left( 1-2n-3m \right)-5\left( 8-n+5m \right)=0 \\
& 3\left( -3+3n-2m \right)-2.\left( 1-2n-3m \right)-1\left( 8-n+5m \right)=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -38m+5n=43 \\
& -5m+14n=19 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& n=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $M\left( 0;0;1 \right)$, $N\left( 2;2;3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( 2;2;2 \right)$, chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng $MN$ là $\overrightarrow{u}=\left( 1 ;1 ;1 \right)$.
Nên đường vuông góc chung $MN$ có phương trình là $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
Đường thẳng ${d}'$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left( 3 ;-2 ;-1 \right)$.
Gọi $M\in d$ suy ra $M\left( 2+2m;3+3m;-4-5m \right)$ và $N\in {d}'$ suy ra $N\left( -1+3n;4-2n;4-n \right)$.
Từ đó ta có $\overrightarrow{MN}=\left( -3+3n-2m;1-2n-3m;8-n+5m \right)$.
Do $MN$ là đường vuông góc chung của $d$ và ${d}'$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& MN\bot d \\
& MN\bot {d}' \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0 \\
& \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\left( -3+3n-2m \right)+3.\left( 1-2n-3m \right)-5\left( 8-n+5m \right)=0 \\
& 3\left( -3+3n-2m \right)-2.\left( 1-2n-3m \right)-1\left( 8-n+5m \right)=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -38m+5n=43 \\
& -5m+14n=19 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& n=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $M\left( 0;0;1 \right)$, $N\left( 2;2;3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( 2;2;2 \right)$, chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng $MN$ là $\overrightarrow{u}=\left( 1 ;1 ;1 \right)$.
Nên đường vuông góc chung $MN$ có phương trình là $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
Đáp án A.