Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-2z+10=0$, đồng thời $\left( \alpha \right)$ song song và cách đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-3}$ một khoảng bằng $\sqrt{2}$ có phương trình là
A. $5x-4y+3z-9=0$ hoặc $5x-4y+3z+9=0$.
B. $5x+4y+3z+11=0$ hoặc $5x+4y+3z-11=0$.
C. $5x-4y+3z+9=0$ hoặc $5x-4y+3z-11=0$.
D. $5x+4y+3z+11=0$ hoặc $5x+4y+3z-9=0$.
A. $5x-4y+3z-9=0$ hoặc $5x-4y+3z+9=0$.
B. $5x+4y+3z+11=0$ hoặc $5x+4y+3z-11=0$.
C. $5x-4y+3z+9=0$ hoặc $5x-4y+3z-11=0$.
D. $5x+4y+3z+11=0$ hoặc $5x+4y+3z-9=0$.
Ta có $\left( P \right):2x-y-2z+10=0$ có VTPT $\overrightarrow{n}=\left( 2\ ;\ -1\ ;\ -2\ \right)$.
Đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-3}$ có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 1\ ;\ 1\ ;\ -3\ \right)$ và đi qua $A\left( 1\ ;\ 0\ ;\ -2\ \right)$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-2z+10=0$ và song song với đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-3}$ nên VTPT của $\left( \alpha \right)$ là ${{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=\left[ \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} \right]=\left( 5\ ;\ 4\ ;\ 3\ \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng $\left( \alpha \right):5x+4y+3z+D=0$.
Lại có
$d\left( \left( P \right);\Delta \right)=\sqrt{2}\Rightarrow d\left( A;(P \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 5.1+4.0+3.(-2)+D \right|}{\sqrt{25+16+9}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| D-1 \right|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& D=-9 \\
& D=11 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $5x+4y+3z-9=0$ hoặc $5x+4y+3z+11=0$.
Đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-3}$ có VTCP $\overrightarrow{u}=\left( 1\ ;\ 1\ ;\ -3\ \right)$ và đi qua $A\left( 1\ ;\ 0\ ;\ -2\ \right)$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-2z+10=0$ và song song với đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{-3}$ nên VTPT của $\left( \alpha \right)$ là ${{\overrightarrow{n}}_{\alpha }}=\left[ \overrightarrow{n};\overrightarrow{u} \right]=\left( 5\ ;\ 4\ ;\ 3\ \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có dạng $\left( \alpha \right):5x+4y+3z+D=0$.
Lại có
$d\left( \left( P \right);\Delta \right)=\sqrt{2}\Rightarrow d\left( A;(P \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 5.1+4.0+3.(-2)+D \right|}{\sqrt{25+16+9}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \left| D-1 \right|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& D=-9 \\
& D=11 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $5x+4y+3z-9=0$ hoặc $5x+4y+3z+11=0$.
Đáp án D.