Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ gọi ${A}'$ là điểm đối xứng...

Gọi $d$ là đường thẳng qua $A\left( 2;-1;-1 \right)$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$.
$d$ qua $A\left( 2;-1;-1 \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;-1 \right)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-1-t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right.,t\in \mathbb{R}$.
Ta có $H=d\cap \left( \alpha \right)$, tọa độ $H$ thỏa mãn hệ: $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=-1-t \\
& z=-1-t \\
& x-y-z-7=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=1 \\
& x=3 \\
& y=-2 \\
& z=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow H\left( 3;-2;-2 \right)$ là trung điểm của đoạn $A{A}'$
$\Rightarrow {A}'\left( 4;-3;-3 \right)$.