Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho véc tơ $\overrightarrow{a}=\left( 1;-1;0 \right)$ và hai điểm $A\left( -4;7;3 \right), B\left( 4;4;5 \right)$. Hai điểm $M,N$ thay đổi thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và $MN=5\sqrt{2}$. Giá trị lớn nhất của $\left| AM-BN \right|$ bằng
A. $\sqrt{17}$.
B. $\sqrt{77}$.
C. $7\sqrt{2}-3$.
D. $\sqrt{82}-5$.
A. $\sqrt{17}$.
B. $\sqrt{77}$.
C. $7\sqrt{2}-3$.
D. $\sqrt{82}-5$.
Vì $\overrightarrow{M N}$ cùng hướng với $\vec{a}$ nên tồn tại số thực $k>0$ sao cho
$\overrightarrow{M N}=k \vec{a} \Leftrightarrow M N=|k| .|\vec{a}| \Leftrightarrow|k|=5 \Leftrightarrow k=5 \Rightarrow \overrightarrow{M N}=(5 ;-5 ; 0)$
Gọi $K(x ; y ; z)$ thỏa mãn $\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{M N}$
$\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{M N} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+4=5 \\ y-7=-5 \\ z-3=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2 \\ z=3\end{array} \Rightarrow K(1 ; 2 ; 3) \Rightarrow K\right.\right.$ và $B$ nằm cùng phía đối với $(O x y)$
$
\Rightarrow|A M-B N|=|K N-B N| \leq K B=\sqrt{17}
$
Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow K, N, B$ thẳng hàng.
Vậy giá trị lớn nhất của $|A M-B N|$ bằng $\sqrt{17}$.
$\overrightarrow{M N}=k \vec{a} \Leftrightarrow M N=|k| .|\vec{a}| \Leftrightarrow|k|=5 \Leftrightarrow k=5 \Rightarrow \overrightarrow{M N}=(5 ;-5 ; 0)$
Gọi $K(x ; y ; z)$ thỏa mãn $\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{M N}$
$\overrightarrow{A K}=\overrightarrow{M N} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+4=5 \\ y-7=-5 \\ z-3=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2 \\ z=3\end{array} \Rightarrow K(1 ; 2 ; 3) \Rightarrow K\right.\right.$ và $B$ nằm cùng phía đối với $(O x y)$
$
\Rightarrow|A M-B N|=|K N-B N| \leq K B=\sqrt{17}
$
Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow K, N, B$ thẳng hàng.
Vậy giá trị lớn nhất của $|A M-B N|$ bằng $\sqrt{17}$.
Đáp án A.