Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-2y-z+7=0$ và điểm $A\left( 1;1;-2 \right).$ Điểm $H\left( a;b;c \right)$...

Phương pháp:
- Viết phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right).$
- Tìm $H=\Delta \cap \left( P \right)$.
- Tìm $a,b,c$ và tính tổng.
Cách giải:
Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right),$ phương trình đường thẳng $\Delta $ là:
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-2t \\
& z=-2-t \\
\end{aligned} \right.\left( \Delta \right)$
Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\left( P \right)$ nên $H=\Delta \cap \left( P \right)\Rightarrow $ Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-2t \\
& z=-2-t \\
& 2x-2y-z+7=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-2t \\
& z=-2-t \\
& 2+4t-2+4t+2+t+7=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1+2t \\
& y=1-2t \\
& z=-2-t \\
& 9t+9=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& z=-1 \\
& y=3 \\
& z=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( -1;3;-1 \right)$
$\Rightarrow a=-1,b=3,c=-1.$
Vậy $a+b+c=-1+3-1=1.$