Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, cho mặt cầu ${(S)\colon x^2+(y-3)^2+z^2=4}$ và hai điểm ${A(4;3;3)}$, ${B(2;1;0)}$. Gọi ${(P)}$ là mặt phẳng đi qua ${A}$ tiếp xúc với ${(S)}$. Gọi khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ ${B}$ đến ${(P)}$ lần lượt là ${m}$ và ${n}$. Khi đó ${T=m+n}$ nằm trong khoảng nào dưới đây?
A. ${(1;2)}$.
B. ${(3;4)}$.
C. ${\left(0;\dfrac{1}{2}\right)}$.
D. ${\left(2;\dfrac{7}{2}\right)}$.
A. ${(1;2)}$.
B. ${(3;4)}$.
C. ${\left(0;\dfrac{1}{2}\right)}$.
D. ${\left(2;\dfrac{7}{2}\right)}$.
⬥Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;3;0), R=2$.
⬥Ta có $AI=5, AB=\sqrt{17}$.
⬥Có thể coi như tập hợp tất cả các đường thẳng ${AM}$ với ${M}$ là tiếp điểm của mặt phẳng ${(P)}$ với mặt cầu ${(S)}$ là một mặt nón tròn xoay ${(N)}$ có đỉnh nón là điểm ${A}$ và trục nón là đường thẳng ${AI}$
⬥Góc ở đỉnh nón là ${2\alpha}$, có $\sin \alpha=\dfrac{R}{AI}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow \cos \alpha=\dfrac{\sqrt{21}}{5}.$
⬥Khoảng cách từ ${B}$ đến mặt phẳng ${(P)}$ cũng chính là khoảng cách từ ${B}$ đến các đường sinh của nón ${(N)}$.
⬥Ta đi tính góc $\cos \widehat{BAI}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{.AI}}{AB.AI}=\dfrac{\sqrt{17}}{5}\Rightarrow \widehat{BAI}>\alpha $.
⬥Suy ra khoảng cách nhỏ nhất từ $B$ đến $\left( P \right)$ là $n=d{{\left( B,\left( P \right) \right)}_{\min }}=0$. Khi đó $B\in \left( P \right)$.
⬥Gọi $\beta $ là góc tạo bởi $AB$ và $AI$. Khoảng cách lớn nhất từ $B$ đến $\left( P \right)$ là
$\begin{aligned}
& m=d{{\left( B,\left( P \right) \right)}_{\max }}=AB.\sin \left( \alpha +\beta \right) \\
& =\sqrt{17}\left( \sin \alpha .\cos \beta +\cos \beta .\sin \alpha \right)=\sqrt{17}\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{5}.\dfrac{\sqrt{21}}{5}+\dfrac{\sqrt{17}}{5}.\dfrac{2}{5} \right)=\dfrac{2\sqrt{714}+34}{25}\approx 3,5 \\
\end{aligned}$
⬥Vậy $m+n=3,5$.
⬥Ta có $AI=5, AB=\sqrt{17}$.
⬥Có thể coi như tập hợp tất cả các đường thẳng ${AM}$ với ${M}$ là tiếp điểm của mặt phẳng ${(P)}$ với mặt cầu ${(S)}$ là một mặt nón tròn xoay ${(N)}$ có đỉnh nón là điểm ${A}$ và trục nón là đường thẳng ${AI}$
⬥Góc ở đỉnh nón là ${2\alpha}$, có $\sin \alpha=\dfrac{R}{AI}=\dfrac{2}{5}\Rightarrow \cos \alpha=\dfrac{\sqrt{21}}{5}.$
⬥Ta đi tính góc $\cos \widehat{BAI}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{.AI}}{AB.AI}=\dfrac{\sqrt{17}}{5}\Rightarrow \widehat{BAI}>\alpha $.
⬥Suy ra khoảng cách nhỏ nhất từ $B$ đến $\left( P \right)$ là $n=d{{\left( B,\left( P \right) \right)}_{\min }}=0$. Khi đó $B\in \left( P \right)$.
⬥Gọi $\beta $ là góc tạo bởi $AB$ và $AI$. Khoảng cách lớn nhất từ $B$ đến $\left( P \right)$ là
$\begin{aligned}
& m=d{{\left( B,\left( P \right) \right)}_{\max }}=AB.\sin \left( \alpha +\beta \right) \\
& =\sqrt{17}\left( \sin \alpha .\cos \beta +\cos \beta .\sin \alpha \right)=\sqrt{17}\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{5}.\dfrac{\sqrt{21}}{5}+\dfrac{\sqrt{17}}{5}.\dfrac{2}{5} \right)=\dfrac{2\sqrt{714}+34}{25}\approx 3,5 \\
\end{aligned}$
⬥Vậy $m+n=3,5$.
Đáp án B.