Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-6}{-3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-2}{2}$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 4 ; 3 ; 4 \right)$ song song với đường thẳng $\Delta $ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$. Tính $a-b+c$.
A. $0$.
B. $1$.
C. $-1$.
D. $2$.
A. $0$.
B. $1$.
C. $-1$.
D. $2$.
Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{n}=\left( a ; b ; c \right)$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):a\left( x-4 \right)+b\left( y-3 \right)+c\left( z-4 \right)=0$.
Do $\left( P \right) \text{//} \Delta $ nên $-3a+2b+2c=0$ $\Rightarrow 3a=2\left( b+c \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $\dfrac{\left| -3a-b-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=3$ $\Leftrightarrow 9\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)={{\left( 3a+b+c \right)}^{2}}\left( * \right)$.
Thay $3a=2\left( a+b \right)$ vào $\left( * \right)$ ta được:
$4{{\left( b+c \right)}^{2}}+9\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=9{{\left( b+c \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}-5bc+2{{c}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left( 2b-c \right)\left( b-2c \right)=0$.
TH1: $b-2c=0$, chọn $c=1$ ; $b=2$ $\Rightarrow a=2$ $\Rightarrow $ $\left( P \right):2x+2y+z-18=0$ (loại do $\Delta \subset \left( P \right)$ ).
TH2: $2b-c=0$, chọn $b=1$ ; $c=2$ $\Rightarrow a=2$ $\Rightarrow \left( P \right):2x+y+2z-19=0\Leftrightarrow \dfrac{x}{\dfrac{19}{2}}+\dfrac{y}{19}+\dfrac{z}{\dfrac{19}{2}}=1$ kiểm tra thấy $\left( P \right) \text{//} \Delta $ (thỏa).
Do mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$. Khi đó: $a=\dfrac{19}{2}$ ; $b=19$ ; $c=\dfrac{19}{2}$.
Vậy: $a-b+c=0$.
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):a\left( x-4 \right)+b\left( y-3 \right)+c\left( z-4 \right)=0$.
Do $\left( P \right) \text{//} \Delta $ nên $-3a+2b+2c=0$ $\Rightarrow 3a=2\left( b+c \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên $\dfrac{\left| -3a-b-c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=3$ $\Leftrightarrow 9\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)={{\left( 3a+b+c \right)}^{2}}\left( * \right)$.
Thay $3a=2\left( a+b \right)$ vào $\left( * \right)$ ta được:
$4{{\left( b+c \right)}^{2}}+9\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)=9{{\left( b+c \right)}^{2}}\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}-5bc+2{{c}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow \left( 2b-c \right)\left( b-2c \right)=0$.
TH1: $b-2c=0$, chọn $c=1$ ; $b=2$ $\Rightarrow a=2$ $\Rightarrow $ $\left( P \right):2x+2y+z-18=0$ (loại do $\Delta \subset \left( P \right)$ ).
TH2: $2b-c=0$, chọn $b=1$ ; $c=2$ $\Rightarrow a=2$ $\Rightarrow \left( P \right):2x+y+2z-19=0\Leftrightarrow \dfrac{x}{\dfrac{19}{2}}+\dfrac{y}{19}+\dfrac{z}{\dfrac{19}{2}}=1$ kiểm tra thấy $\left( P \right) \text{//} \Delta $ (thỏa).
Do mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$. Khi đó: $a=\dfrac{19}{2}$ ; $b=19$ ; $c=\dfrac{19}{2}$.
Vậy: $a-b+c=0$.
Đáp án A.