Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+1}{-1},{{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=0 \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua ${{d}_{1}}$ tạo với ${{d}_{2}}$ một góc ${{45}^{0}}$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left( 1;b;c \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích bc .
A. $-4$ hoặc 0
B. 4 hoặc 0.
C. $-4$
D. 4.
& x=t \\
& y=0 \\
& z=-t \\
\end{aligned} \right.$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua ${{d}_{1}}$ tạo với ${{d}_{2}}$ một góc ${{45}^{0}}$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left( 1;b;c \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Xác định tích bc .
A. $-4$ hoặc 0
B. 4 hoặc 0.
C. $-4$
D. 4.
Lời giải
Ta có vectơ chỉ phương qua ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;-2;-1 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;0;-1 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua ${{d}_{1}}\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0\Leftrightarrow 2-2b-c=0\left( 1 \right)$
$\sin \left( {{d}_{2}},\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|}=\sin {{45}^{0}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1-c \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}.\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left| 1-c \right|=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}\Leftrightarrow {{b}^{2}}+2c=0\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right) $ và $\left( 2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=2 \\
& c=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B.c=-4$
Ta có vectơ chỉ phương qua ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;-2;-1 \right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;0;-1 \right)$
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua ${{d}_{1}}\Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}=0\Leftrightarrow 2-2b-c=0\left( 1 \right)$
$\sin \left( {{d}_{2}},\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|\left| \overrightarrow{n} \right|}=\sin {{45}^{0}}\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1-c \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}.\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \left| 1-c \right|=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1}\Leftrightarrow {{b}^{2}}+2c=0\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right) $ và $\left( 2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=2 \\
& c=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B.c=-4$
Đáp án C.