Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z+2}{1}$ ; ${{d}_{2}}:\dfrac{x-5}{-3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với $\left( P \right)$, cắt ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ lần lượt tại $M$ và $N$. Diện tích tam giác $OMN$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{28}}{2}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
C. $3\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{\sqrt{28}}{2}$.
B. $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
C. $3\sqrt{3}$.
D. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
Ta có $M\left( 3-t;3-2t;-2+t \right)$, $N\left( 5-3t';-1+2t';2+t' \right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( t-3t'+2;2t'+2t-4;t'-t+4 \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{MN}//\overrightarrow{{{n}_{P}}}\Rightarrow \dfrac{t-3t'+2}{1}=\dfrac{2t'+2t-4}{2}=\dfrac{t'-t+4}{3}$.
Đặt $k=\dfrac{t-3t'+2}{1}=\dfrac{2t'+2t-4}{2}=\dfrac{t'-t+4}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t-3t'-k=-2 \\
& 2t+2t'-2k=4 \\
& -t+t'-3k=-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t'=1 \\
& k=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $M\left( 1;-1;0 \right),N\left( 2;1;3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{OM}=\left( 1;-1;0 \right),\overrightarrow{ON}=\left( 2;1;3 \right)\Rightarrow {{S}_{OMN}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{ON} \right] \right|=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
Đường thẳng $\Delta $ vuông góc với $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow{MN}//\overrightarrow{{{n}_{P}}}\Rightarrow \dfrac{t-3t'+2}{1}=\dfrac{2t'+2t-4}{2}=\dfrac{t'-t+4}{3}$.
Đặt $k=\dfrac{t-3t'+2}{1}=\dfrac{2t'+2t-4}{2}=\dfrac{t'-t+4}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t-3t'-k=-2 \\
& 2t+2t'-2k=4 \\
& -t+t'-3k=-4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t'=1 \\
& k=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $M\left( 1;-1;0 \right),N\left( 2;1;3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{OM}=\left( 1;-1;0 \right),\overrightarrow{ON}=\left( 2;1;3 \right)\Rightarrow {{S}_{OMN}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{OM};\overrightarrow{ON} \right] \right|=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án D.