Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa đô $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-2}{2}$ và ${\Delta }':\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-2}{2}$. Mặt phẳng $\left( P \right):2x+my+nz+p=0$ ( $m$ ; $n$ ; $p$ $\in \mathbb{R}$ ) chứa đường thẳng $\Delta $ tạo với đường thẳng ${\Delta }'$ một góc lớn nhất. Khi đó tích của $m$ ; $n$ ; $p$ bằng:
A. $60$
B. $-30$
C. $-20$.
D. $30$.
A. $60$
B. $-30$
C. $-20$.
D. $30$.
Dễ thấy rằng $\Delta $ và ${\Delta }'$ cùng đi qua điểm $A\left( 3;3;2 \right)$ $\Rightarrow A\left( 3;3;2 \right)\in \left( P \right)$.
Trên ${\Delta }'$ lấy $H$ sao cho $H$ không trùng với $A$.
Gọi ${H}'$, ${H}''$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $\Delta $ và $\left( P \right)$.
Khi đó $d\left( H,\left( P \right) \right)\le d\left( H,\Delta \right)\Leftrightarrow H{H}''\le H{H}'$ $\Leftrightarrow \dfrac{H{H}''}{HA}\le \dfrac{H{H}'}{HA}$ $\Leftrightarrow \sin \left( {\Delta }',\left( P \right) \right)\le \sin \left( {\Delta }',\Delta \right)$.
$\Rightarrow \left( {\Delta }',\left( P \right) \right)\le \left( {\Delta }',\Delta \right)$. Đẳng thức xảy ra khi ${H}'\equiv {H}''$ hay $\Delta $ là hình chiếu của ${\Delta }'$ trên $\left( P \right)$.
Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }'}}}} \right] \right]=\left( -8;20;-16 \right)=-4\left( 2;-5;4 \right)\Rightarrow \left( P \right):2x-5y+4z+1=0$.
Trên ${\Delta }'$ lấy $H$ sao cho $H$ không trùng với $A$.
Gọi ${H}'$, ${H}''$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $\Delta $ và $\left( P \right)$.
Khi đó $d\left( H,\left( P \right) \right)\le d\left( H,\Delta \right)\Leftrightarrow H{H}''\le H{H}'$ $\Leftrightarrow \dfrac{H{H}''}{HA}\le \dfrac{H{H}'}{HA}$ $\Leftrightarrow \sin \left( {\Delta }',\left( P \right) \right)\le \sin \left( {\Delta }',\Delta \right)$.
$\Rightarrow \left( {\Delta }',\left( P \right) \right)\le \left( {\Delta }',\Delta \right)$. Đẳng thức xảy ra khi ${H}'\equiv {H}''$ hay $\Delta $ là hình chiếu của ${\Delta }'$ trên $\left( P \right)$.
Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }'}}}} \right] \right]=\left( -8;20;-16 \right)=-4\left( 2;-5;4 \right)\Rightarrow \left( P \right):2x-5y+4z+1=0$.
Đáp án C.