Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$ và...

Phương pháp giải:
Cho đường thẳng ${{d}_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}};$ đường thẳng ${{d}_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{2}}}.$ Khi đó ta có khoảng cách giữa ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ được tính bởi công thức: $d\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}.$
Giải chi tiết:
Ta có:
${{d}_{1}}:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$ $\Rightarrow {{d}_{1}}$ đi qua ${{M}_{1}}\left( 0;1;-1 \right)$ và có 1 VTCP là: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;1;-2 \right).$
${{d}_{2}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{-2}$ $\Rightarrow {{d}_{2}}$ đi qua ${{M}_{2}}\left( 1;2;3 \right)$ và có 1 VTCP là: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;2;-2 \right).$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\left( 1;1;4 \right) \\
\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=\left( 2;2;3 \right) \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow d\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|}$ $=\dfrac{\left| 2+2+12 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{16}{\sqrt{17}}.$