Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(...

Ta có điểm $M$ là điểm di động thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $\widehat{AMB}=90{}^\circ $ nên $M$ thuộc giao của mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$.
Ta có mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$ có tâm $I\left( 1;2;4 \right)$ bán kính $R=\dfrac{AB}{2}=5$ nên có phương trình ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}}=25$.
Mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ có phương trình $z=0$ có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$ và cũng là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nên $d\bot \left( Oxy \right)$ $\Rightarrow d\cap \left( Oxy \right)=C$ $\Rightarrow C\left( 5;-1;0 \right)$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của tâm $I\left( 1;2;4 \right)$ mặt cầu $\left( S \right)$ lên mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ $\Rightarrow H\left( 1;2;0 \right)$.
Mà điểm $M$ thuộc giao của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ nên thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $H\left( 1;2;0 \right)$ bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}=3$.
Lại có điểm $N$ là điểm di động thuộc $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=5 \\
& y=-1 \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $ nên $ MN\ge CH-r=5-3=2$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $MN$ bằng $2$.