Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1; 2; 1 \right),B\left( 3; 4; 0 \right)$, mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz+46=0$. Biết rằng khoảng cách từ $A, B$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ lần lượt bằng $6$ và $3$. Giá trị của biểu thức $T=a+b+c$ bằng
A. $-3$.
B. $-6$.
C. $3$.
D. $6$.
A. $-3$.
B. $-6$.
C. $3$.
D. $6$.
Gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.
Khi đó theo giả thiết ta có: $AB=3$, $AH=6$, $BK=3$.
Do đó $A, B$ ở cùng phía với mặt phẳng $\left( P \right)$
Lại có: $AB+BK\ge AK\ge AH\Rightarrow H\equiv K$.
Suy ra $A, B, H$ là ba điểm thẳng hàng và $B$ là trung điểm của $AH$ nên tọa độ $H\left( 5; 6; -1 \right)$.
Vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $H\left( 5; 6; -1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 2; 2; -1 \right)$ là VTPT có nên phương trình
$2\left( x-5 \right)+2\left( y-6 \right)-1\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y-z-23=0$.
Theo bài ra thì $\left( P \right): -4x-4y+2z+46=0$, nên $a=-4, b=-4, c=2$.
Vậy $T=a+b+c=-6$.
Khi đó theo giả thiết ta có: $AB=3$, $AH=6$, $BK=3$.
Do đó $A, B$ ở cùng phía với mặt phẳng $\left( P \right)$
Lại có: $AB+BK\ge AK\ge AH\Rightarrow H\equiv K$.
Suy ra $A, B, H$ là ba điểm thẳng hàng và $B$ là trung điểm của $AH$ nên tọa độ $H\left( 5; 6; -1 \right)$.
Vậy mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $H\left( 5; 6; -1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{AB}=\left( 2; 2; -1 \right)$ là VTPT có nên phương trình
$2\left( x-5 \right)+2\left( y-6 \right)-1\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow 2x+2y-z-23=0$.
Theo bài ra thì $\left( P \right): -4x-4y+2z+46=0$, nên $a=-4, b=-4, c=2$.
Vậy $T=a+b+c=-6$.
Đáp án B.