Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{-2}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z-3=0.$ Gọi α là góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\cos \alpha =-\dfrac{4}{9}$
B. $\sin \alpha =\dfrac{4}{9}$
C. $\cos \alpha =\dfrac{4}{9}$
D. $\sin \alpha =-\dfrac{4}{9}$
A. $\cos \alpha =-\dfrac{4}{9}$
B. $\sin \alpha =\dfrac{4}{9}$
C. $\cos \alpha =\dfrac{4}{9}$
D. $\sin \alpha =-\dfrac{4}{9}$
Phương pháp giải:
Gọi $\alpha $ là góc giữa $\left( P \right)$ và $\Delta $, khi đó ta có $\sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$, với $\overrightarrow{{{n}_{p}}}$ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}$ lần lượt là 1 vtpt của $\left( P \right)$ và vtcp của Δ.
Giải chi tiết:
Mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z-3=0$ có 1 vtpt là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;-1;2 \right)$, đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{-2}$ có 1 vtcp là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-2 \right)$.
Ta có: $\sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\dfrac{\left| 2.1-1.2+2.\left( -2 \right) \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{4}{9}$.
$\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\dfrac{\sqrt{65}}{9}$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa $\left( P \right)$ và $\Delta $, khi đó ta có $\sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$, với $\overrightarrow{{{n}_{p}}}$ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}$ lần lượt là 1 vtpt của $\left( P \right)$ và vtcp của Δ.
Giải chi tiết:
Mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z-3=0$ có 1 vtpt là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 2;-1;2 \right)$, đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{-2}$ có 1 vtcp là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-2 \right)$.
Ta có: $\sin \alpha =\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\dfrac{\left| 2.1-1.2+2.\left( -2 \right) \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{4}{9}$.
$\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=\dfrac{\sqrt{65}}{9}$.
Đáp án B.