Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{2}$ và hai mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+3z=0,\left( Q \right):x-2y+3z+4=0.$ Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng $\Delta $ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$
A. ${{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{7}$
B. ${{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{7}$
C. ${{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=\dfrac{2}{7}$
D. ${{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\dfrac{2}{7}$
A. ${{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{7}$
B. ${{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=\dfrac{1}{7}$
C. ${{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=\dfrac{2}{7}$
D. ${{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\dfrac{2}{7}$
Phương pháp giải:
- Gọi tâm mặt cầu là I, tham số hóa tọa độ điểm $I\in \Delta $ theo biến t.
- Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( I;\left( Q \right) \right)$. Giải phương trình tìm t và suy ra tâm, bán kính mặt cầu.
- Mặt cầu tâm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$, bán kính R có phương trình là ${{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}$.
Giải chi tiết:
Gọi tâm mặt cầu là $I\left( 1+t;-1+t;2t \right)\in \Delta $.
Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( I;\left( Q \right) \right)$.
$\Rightarrow \dfrac{\left| 1+t-2\left( -1+t \right)+3.2t \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{\left| 1+t-2\left( -1+t \right)+3.2t+4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \left| 5t+3 \right|=\left| 5t+7 \right|\Leftrightarrow 5t+3=-5t-7\Leftrightarrow t=-1$
Khi đó mặt cầu có tâm $I\left( 0;-2;-2 \right)$, bán kính $R=\dfrac{\left| -5+3 \right|}{\sqrt{14}}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}$.
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là ${{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=\dfrac{2}{7}$
- Gọi tâm mặt cầu là I, tham số hóa tọa độ điểm $I\in \Delta $ theo biến t.
- Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( I;\left( Q \right) \right)$. Giải phương trình tìm t và suy ra tâm, bán kính mặt cầu.
- Mặt cầu tâm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$, bán kính R có phương trình là ${{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}$.
Giải chi tiết:
Gọi tâm mặt cầu là $I\left( 1+t;-1+t;2t \right)\in \Delta $.
Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( I;\left( Q \right) \right)$.
$\Rightarrow \dfrac{\left| 1+t-2\left( -1+t \right)+3.2t \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\dfrac{\left| 1+t-2\left( -1+t \right)+3.2t+4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \left| 5t+3 \right|=\left| 5t+7 \right|\Leftrightarrow 5t+3=-5t-7\Leftrightarrow t=-1$
Khi đó mặt cầu có tâm $I\left( 0;-2;-2 \right)$, bán kính $R=\dfrac{\left| -5+3 \right|}{\sqrt{14}}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}$.
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là ${{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=\dfrac{2}{7}$
Đáp án B.