Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:{\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y+1}{1}}={\displaystyle \frac{z}{2}}$ và hai mặt phẳng $\left( P...

Phương pháp giải:
- Gọi tâm mặt cầu là I, tham số hóa tọa độ điểm $I\in \mathrm{\Delta }$ theo biến t.
- Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ nên $R=d(I;\left(P\right))=d(I;\left(Q\right))$. Giải phương trình tìm t và suy ra tâm, bán kính mặt cầu.
- Mặt cầu tâm $I(x_0;y_0;z_0)$, bán kính R có phương trình là ${(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2+{(z-z_0)}^2=R^2$.
Giải chi tiết:
Gọi tâm mặt cầu là $I(1+t;-1+t;2t)\in \mathrm{\Delta }$.
Vì mặt cầu có tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ nên $R=d(I;\left(P\right))=d(I;\left(Q\right))$.
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{|1+t-2(-1+t)+3.2t|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}}={\displaystyle \frac{|1+t-2(-1+t)+3.2t+4|}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}}$
$\iff |5t+3|=|5t+7|\iff 5t+3=-5t-7\iff t=-1$
Khi đó mặt cầu có tâm $I(0;-2;-2)$, bán kính $R={\displaystyle \frac{|-5+3|}{\sqrt{14}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{14}}}$.
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là $x^2+{(y+2)}^2+{(z+2)}^2={\displaystyle \frac{2}{7}}$