Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-3}{3}$ và hai điểm $A\left( 2 ; 0 ; 3 \right)$, $B\left( 2 ; -2 ; -3 \right)$. Biết điểm $M\left( {{x}_{0}} ; {{y}_{0}} ; {{z}_{0}} \right)$ thuộc $d$ thỏa mãn $P=M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}+M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}$ nhỏ nhất. Tìm ${{y}_{0}}$.
A. ${{y}_{0}}=3$.
B. ${{y}_{0}}=2$.
C. ${{y}_{0}}=1$.
D. ${{y}_{0}}=-1$.
A. ${{y}_{0}}=3$.
B. ${{y}_{0}}=2$.
C. ${{y}_{0}}=1$.
D. ${{y}_{0}}=-1$.
Ta gọi điểm $K$ là trung điểm của cạnh $AB\Rightarrow K\left( 2 ; -1 ; 0 \right)$.
Ta có:
$\overrightarrow{AB}=\left( 0 ; -2 ; -6 \right)$ ;
$d: \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-3}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{a}_{d}}}=\left( 1 ; 2 ; 3 \right) \\
& C\left( 3 ; 1 ; 3 \right)\in d \\
\end{aligned} \right.$;
$\begin{aligned} & \overrightarrow{A C}=(1 ; 1 ; 0) \\ & \overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{a_d}=(-6 ; 6 ;-2)\end{aligned}$
$\left( \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{{{a}_{d}}} \right).\overrightarrow{AC}=0$.
Suy ra, đường thẳng $AB$ và đường thẳng $d$ đồng phẳng.
Ta có, phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y={t}' \\
& z=3+3{t}' \\
\end{aligned} \right.; {t}'\in \mathbb{R}$.
Gọi $D=AB\cap d$.
Suy ra, tọa độ của điểm $D$ thỏa hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& 3+t=2 \\
& 1+2t={t}' \\
& 3+3t=3+3{t}' \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& {t}'=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow D\left( 2 ; -1 ; 0 \right)\equiv K$.
Ta có:
$P=M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}+M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}={{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}^{2}}-M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}$
$\Rightarrow P\ge {{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow P\ge \dfrac{3}{4}{{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow P\ge \dfrac{3}{4}{{\left( 2M{{K}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow P\ge \dfrac{3}{16}.A{{B}^{4}}$.
Vậy, $P=M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}+M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{3}{16}.A{{B}^{4}}$ khi và chỉ khi $M\equiv K$.
Mà $K\left( 2 ; -1 ; 0 \right)\Rightarrow {{y}_{0}}=-1$.
Ta có:
$\overrightarrow{AB}=\left( 0 ; -2 ; -6 \right)$ ;
$d: \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-3}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{a}_{d}}}=\left( 1 ; 2 ; 3 \right) \\
& C\left( 3 ; 1 ; 3 \right)\in d \\
\end{aligned} \right.$;
$\begin{aligned} & \overrightarrow{A C}=(1 ; 1 ; 0) \\ & \overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{a_d}=(-6 ; 6 ;-2)\end{aligned}$
$\left( \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{{{a}_{d}}} \right).\overrightarrow{AC}=0$.
Suy ra, đường thẳng $AB$ và đường thẳng $d$ đồng phẳng.
Ta có, phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y={t}' \\
& z=3+3{t}' \\
\end{aligned} \right.; {t}'\in \mathbb{R}$.
Gọi $D=AB\cap d$.
Suy ra, tọa độ của điểm $D$ thỏa hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& 3+t=2 \\
& 1+2t={t}' \\
& 3+3t=3+3{t}' \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-1 \\
& {t}'=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow D\left( 2 ; -1 ; 0 \right)\equiv K$.
$P=M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}+M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}={{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}^{2}}-M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}$
$\Rightarrow P\ge {{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow P\ge \dfrac{3}{4}{{\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow P\ge \dfrac{3}{4}{{\left( 2M{{K}^{2}}+\dfrac{A{{B}^{2}}}{2} \right)}^{2}}$
$\Rightarrow P\ge \dfrac{3}{16}.A{{B}^{4}}$.
Vậy, $P=M{{A}^{4}}+M{{B}^{4}}+M{{A}^{2}}.M{{B}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{3}{16}.A{{B}^{4}}$ khi và chỉ khi $M\equiv K$.
Mà $K\left( 2 ; -1 ; 0 \right)\Rightarrow {{y}_{0}}=-1$.
Đáp án D.