Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned} & x=2-2t \\ & y=4t \\ & z=-3+6t \\ \end{aligned}...

Phương pháp:
- Đường thẳng $\left\{ \begin{aligned}
& x={{x}_{0}}+at \\
& y={{y}_{0}}+bt \\
& z={{z}_{0}}+ct \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right) $ có 1 VTCP là $ \overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right). $ Từ đó suy ra 1 VTCP của $ {{d}_{1}},{{d}_{2}}.$
- Nhận xét mối quan hệ của 2 VTCP, từ đó suy ra vị trí tương đối của 2 đường thẳng.
Cách giải:
Đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=2-2t \\
& y=4t \\
& z=-3+6t \\
\end{aligned} \right. $ có 1 VTCP là $ \overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( -2;4;6 \right).$
Đường thẳng ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1-t \\
& y=2+2t \\
& z=3t \\
\end{aligned} \right. $ có 1 VTCP là $ \overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( -1;2;3 \right).$
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=2\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ nên ${{d}_{1}}\equiv {{d}_{2}}$ hoặc ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}.$
Lấy $M\left( 2;0;-3 \right)\in {{d}_{1}},$ thay vào phương trình đường thẳng ${{d}_{2}}$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& 2=1-t \\
& 0=2+2t \\
& -3=3t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow M\in {{d}_{2}}.$
Vậy ${{d}_{1}}\equiv {{d}_{2}}.$