Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ và ba điểm $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 2;1;3 \right),C\left( 0;2;-3 \right).$ Biết rằng quỹ tích điểm $M$ thỏa mãn $M{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MB}\overrightarrow{MC}=8$ là một đường tròn cố định, tính bán kính $r$ của đường tròn này.
A. $r=\sqrt{3}$
B. $r=3$
C. $r=6$
D. $r=\sqrt{6}$
A. $r=\sqrt{3}$
B. $r=3$
C. $r=6$
D. $r=\sqrt{6}$
Phương pháp:
- Gọi $M\left( x;y;z \right),$ tính $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$
- Từ giả thiết $M{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=8$ chứng minh $I\in \left( S' \right)$, xác định tâm $I'$ và bán kính $R'$ của mặt cầu $\left( S' \right).$
- Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right).$
- Chứng minh $II'<R+R'\Rightarrow \left( S \right)\cap \left( S' \right)=$ một đường tròn và $M$ thuộc đường tròn đó.
- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính của đường tròn.
Cách giải:
Gọi $M\left( x;y;z \right).$ Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MA}=\left( 1-x;-y;-z \right) \\
& \overrightarrow{MB}=\left( 2-x;1-y;3-z \right) \\
& \overrightarrow{MC}=\left( -x;2-y;-3-z \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow M{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=8$
$\Leftrightarrow {{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x\left( 2-x \right)+2\left( 1-y \right)\left( 2-y \right)+2\left( 3-z \right)\left( -3-z \right)=8$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+1-4x+2{{x}^{2}}+2\left( 2-3y+{{y}^{2}} \right)-2\left( 9-{{z}^{2}} \right)=8$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+1-4x+2{{x}^{2}}+4-6y+2{{y}^{2}}-18+2{{z}^{2}}=8$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-6x-6y-21=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-7y-7=0\left( S' \right)$
$\Rightarrow M\in \left( S' \right)$ là mặt cầu tâm $I'\left( 1;1;0 \right)$, bán kính $R'=\sqrt{1+1+7}=3.$
Hơn nữa, $M\in \left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;3;2 \right),$ bán kính $R=3.$
Ta có: $II'=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{3}<R+R'$.
$\Rightarrow M=\left( S \right)\cap \left( S' \right)$ là một đường tròn có bán kính $r=AH.$
Dễ thấy $\Delta AII'$ cân tại $A$ nên $H$ là trung điểm của $II'\Rightarrow IH=\dfrac{1}{2}II'=\sqrt{3}.$
Vậy $r=AH=\sqrt{A{{I}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{6}$.
- Gọi $M\left( x;y;z \right),$ tính $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$
- Từ giả thiết $M{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=8$ chứng minh $I\in \left( S' \right)$, xác định tâm $I'$ và bán kính $R'$ của mặt cầu $\left( S' \right).$
- Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right).$
- Chứng minh $II'<R+R'\Rightarrow \left( S \right)\cap \left( S' \right)=$ một đường tròn và $M$ thuộc đường tròn đó.
- Sử dụng định lí Pytago tính bán kính của đường tròn.
Cách giải:
Gọi $M\left( x;y;z \right).$ Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{MA}=\left( 1-x;-y;-z \right) \\
& \overrightarrow{MB}=\left( 2-x;1-y;3-z \right) \\
& \overrightarrow{MC}=\left( -x;2-y;-3-z \right) \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow M{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}=8$
$\Leftrightarrow {{\left( 1-x \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x\left( 2-x \right)+2\left( 1-y \right)\left( 2-y \right)+2\left( 3-z \right)\left( -3-z \right)=8$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+1-4x+2{{x}^{2}}+2\left( 2-3y+{{y}^{2}} \right)-2\left( 9-{{z}^{2}} \right)=8$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+1-4x+2{{x}^{2}}+4-6y+2{{y}^{2}}-18+2{{z}^{2}}=8$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-6x-6y-21=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-7y-7=0\left( S' \right)$
$\Rightarrow M\in \left( S' \right)$ là mặt cầu tâm $I'\left( 1;1;0 \right)$, bán kính $R'=\sqrt{1+1+7}=3.$
Hơn nữa, $M\in \left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;3;2 \right),$ bán kính $R=3.$
Ta có: $II'=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{3}<R+R'$.
$\Rightarrow M=\left( S \right)\cap \left( S' \right)$ là một đường tròn có bán kính $r=AH.$
Dễ thấy $\Delta AII'$ cân tại $A$ nên $H$ là trung điểm của $II'\Rightarrow IH=\dfrac{1}{2}II'=\sqrt{3}.$
Vậy $r=AH=\sqrt{A{{I}^{2}}-I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{6}$.
Đáp án D.