Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( 2;3;4 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y-z+6=0.$ Hình chiếu vuông góc của điểm...

Phương pháp:
- Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với $\left( P \right).$
- Tìm giao điểm của $d$ và $\left( P \right).$
Cách giải:
Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left( P \right).$
$\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $d$ là: $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-t \\
& z=4-t \\
\end{aligned} \right..$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mặt phẳng $\left( P \right),$ khi đó $H=d\cap \left( P \right)$ nên tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-t \\
& z=4-t \\
& 2z-y-z+6=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-t \\
& z=4-t \\
& 4+4t-3+t-4+t+6=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=2+2t \\
& y=3-t \\
& z=4-t \\
& 6t+3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=\dfrac{7}{2} \\
& z=\dfrac{9}{2} \\
& t=-\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 1;\dfrac{7}{2};\dfrac{9}{2} \right)$