Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $I\left( -3;0;1 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right):x-2y-2z-1=0$ theo một thiết diện là một hình tròn. Diện tích của hình tròn này bằng $\pi $. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là
A. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=2$.
B. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$.
C. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=5$.
D. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó, ta có mặt cầu $\left( S \right)$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có tâm $H$ và bán kính $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}\left( I,\left( P \right) \right)}$ (với $R$ là bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$ ).
Mà ${{S}_{h.tron}}=\pi \Rightarrow r=1$ và $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -3-2.0-2.1-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=2$ nên $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=5$.
A. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=2$.
B. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=25$.
C. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=5$.
D. ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$.
Mà ${{S}_{h.tron}}=\pi \Rightarrow r=1$ và $d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| -3-2.0-2.1-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=2$ nên $R=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}$.
Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=5$.
Đáp án C.