Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A\left( 2;-1;-2 \right)$ và đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$, song song với đường thẳng $\left( d \right)$ và khoảng cách từ $d$ tới mặt phẳng $\left( P \right)$ là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. $x-y-6=0$.
B. $x+3y+2z+10=0$.
C. $x-2y-3z-1=0$.
D. $3x+z+2=0$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng $d$. Ta suy ra $H\left( 1;1;1 \right)$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$ và $\left( P \right)$ song song với đường thẳng $d$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Do $d\text{ // }\left( P \right)$ nên ta có $d\left( d,\left( P \right) \right)=d\left( H,\left( P \right) \right)=HK$.
Ta luôn có bất đẳng thức $HK\le HA$. Như vậy khoảng cách từ $\left( d \right)$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất bằng $AH$. Và khi đó $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{AH}=\left( -1;2;3 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Do $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 2;-1;-2 \right)$ nên ta có phương trình của $\left( P \right)$ là: $x-2y-3z-10=0$.
Do đó $\left( P \right)$ vuông góc với mặt phẳng có phương trình: $3x+z+2=0$.
A. $x-y-6=0$.
B. $x+3y+2z+10=0$.
C. $x-2y-3z-1=0$.
D. $3x+z+2=0$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$ và $\left( P \right)$ song song với đường thẳng $d$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Do $d\text{ // }\left( P \right)$ nên ta có $d\left( d,\left( P \right) \right)=d\left( H,\left( P \right) \right)=HK$.
Ta luôn có bất đẳng thức $HK\le HA$. Như vậy khoảng cách từ $\left( d \right)$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất bằng $AH$. Và khi đó $\left( P \right)$ nhận $\overrightarrow{AH}=\left( -1;2;3 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Do $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 2;-1;-2 \right)$ nên ta có phương trình của $\left( P \right)$ là: $x-2y-3z-10=0$.
Do đó $\left( P \right)$ vuông góc với mặt phẳng có phương trình: $3x+z+2=0$.
Đáp án D.