Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $A\left( 1;2; -3 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ : $2x+2y-z+9=0$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):3x+4y-4z+5=0$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ tại điểm $B$. Điểm $M$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$, nhìn đoạn $AB$ dưới góc vuông và độ dài $MB$ lớn nhất. Tính độ dài $MB$.
A. $MB=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
B. $MB=\sqrt{5}$.
C. $MB=\sqrt{41}$.
D. $MB=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$.
A. $MB=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$.
B. $MB=\sqrt{5}$.
C. $MB=\sqrt{41}$.
D. $MB=\dfrac{\sqrt{41}}{2}$.
Phương pháp:
Lập luận để chỉ ra MB lớn nhất khi MA nhỏ nhất.
Sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của AM là AE với E là hình chiếu của A trên $\left( P \right)$
Tìm tọa độ điểm E từ đó tính được MB.
Cách giải:
Ta có $M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-M{{A}^{2}}$
Nên $MB$ lớn nhất khi $MA$ nhỏ nhất
Gọi $E$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right)$
Ta có $AM\ge AE$ khi $M$ trùng với $E$
Khi đó $\min MA=AE$
Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( 1;2;-3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left( 3;4;-4 \right)$ làm vecto chỉ phương nên phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2+4t \\
& z=-3-4t \\
\end{aligned} \right.$
Nên $B\left( 1+3t;2+4t;-3-4t \right)$ mà $B\in \left( P \right)\Rightarrow t=-1\Rightarrow B\left( -2;-2;-1 \right)$
Phương trình đường thẳng $AE$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right.$
Mà $E\in d'$ nên $E\left( -1+2t;2+2t;-3-t \right)\in \left( P \right)\Rightarrow t=-2$
$\Rightarrow E\left( -3;-2;-1 \right)$
Khi đó $MB=BE=\sqrt{5}$
Lập luận để chỉ ra MB lớn nhất khi MA nhỏ nhất.
Sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của AM là AE với E là hình chiếu của A trên $\left( P \right)$
Tìm tọa độ điểm E từ đó tính được MB.
Cách giải:
Ta có $M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-M{{A}^{2}}$
Nên $MB$ lớn nhất khi $MA$ nhỏ nhất
Gọi $E$ là hình chiếu của $A$ lên $\left( P \right)$
Ta có $AM\ge AE$ khi $M$ trùng với $E$
Khi đó $\min MA=AE$
Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( 1;2;-3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{u}=\left( 3;4;-4 \right)$ làm vecto chỉ phương nên phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+3t \\
& y=2+4t \\
& z=-3-4t \\
\end{aligned} \right.$
Nên $B\left( 1+3t;2+4t;-3-4t \right)$ mà $B\in \left( P \right)\Rightarrow t=-1\Rightarrow B\left( -2;-2;-1 \right)$
Phương trình đường thẳng $AE$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-1+2t \\
& y=2+2t \\
& z=-3-t \\
\end{aligned} \right.$
Mà $E\in d'$ nên $E\left( -1+2t;2+2t;-3-t \right)\in \left( P \right)\Rightarrow t=-2$
$\Rightarrow E\left( -3;-2;-1 \right)$
Khi đó $MB=BE=\sqrt{5}$
Đáp án B.