Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A\left( 1;0;2 \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$, vuông góc và cắt $d$.
A. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{1}$
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z-2}{1}$
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$
A. $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{1}$
B. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z-2}{1}$
C. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{1}$
D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$
Cách 1
Đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{2}$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;2 \right)$
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$, nên nhận véc tơ chỉ phương của $d$ là vecto pháp tuyến $\left( P \right):1\left( x-1 \right)+y+2\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow x+y+2z-5=0$
Gọi $B$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d\Rightarrow B\left( 1+t ; t ; -1+2t \right)$
Vì $B\in \left( P \right)\Leftrightarrow \left( 1+t \right)+t+2\left( -1+2t \right)-5=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow B\left( 2 ; 1 ; 1 \right)$
Ta có đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và nhận vecto $\overrightarrow{AB}=\left( 1;1;-1 \right)$ là véc tơ chỉ phương có dạng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
Cách 2
Gọi $d\cap \Delta =B\Rightarrow B\left( 1+t;t;-1+2t \right)$
$\overrightarrow{AB}=\left( t;t;-3+2t \right)$, Đường thẳng $d$ có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;1;2 \right)$
Vì $d\bot \Delta$ nên $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t+t+2\left( -3+2t \right)=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( 1;1;-1 \right)$.Ta có đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( 1;0;2 \right)$ và nhận véc tơ $\overrightarrow{AB}=\left( 1;1;-1 \right)$ là véc tơ chỉ phương có dạng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
Đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{2}$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 1;1;2 \right)$
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $d$, nên nhận véc tơ chỉ phương của $d$ là vecto pháp tuyến $\left( P \right):1\left( x-1 \right)+y+2\left( z-2 \right)=0\Leftrightarrow x+y+2z-5=0$
Gọi $B$ là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $d\Rightarrow B\left( 1+t ; t ; -1+2t \right)$
Vì $B\in \left( P \right)\Leftrightarrow \left( 1+t \right)+t+2\left( -1+2t \right)-5=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow B\left( 2 ; 1 ; 1 \right)$
Ta có đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và nhận vecto $\overrightarrow{AB}=\left( 1;1;-1 \right)$ là véc tơ chỉ phương có dạng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
Cách 2
Gọi $d\cap \Delta =B\Rightarrow B\left( 1+t;t;-1+2t \right)$
$\overrightarrow{AB}=\left( t;t;-3+2t \right)$, Đường thẳng $d$ có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;1;2 \right)$
Vì $d\bot \Delta$ nên $\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t+t+2\left( -3+2t \right)=0\Leftrightarrow t=1$
Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( 1;1;-1 \right)$.Ta có đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( 1;0;2 \right)$ và nhận véc tơ $\overrightarrow{AB}=\left( 1;1;-1 \right)$ là véc tơ chỉ phương có dạng $\Delta :\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}$.
Đáp án D.