Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left( -1;0;-1 \right)$ và hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z+2}{-1};$ ${{\Delta }_{2}}:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z+3}{2}.$ Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A$, $d$ cắt ${{\Delta }_{1}}$ đồng thời góc giữa $d$ và ${{\Delta }_{2}}$ là nhỏ nhất. Đường thẳng $d$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $M\left( 3;-5;1 \right)$
B. $N\left( -5;6;1 \right)$
C. $P\left( 7;-10;-5 \right)$
D. $M\left( -9;10;5 \right)$
A. $M\left( 3;-5;1 \right)$
B. $N\left( -5;6;1 \right)$
C. $P\left( 7;-10;-5 \right)$
D. $M\left( -9;10;5 \right)$
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và ${{\Delta }_{1}}$. PT mặt phẳng (P) là: $x+2z+3=0$, $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;0;2 \right)$
Do $d$ là đường thẳng đi qua $A$, $d$ cắt ${{\Delta }_{1}}$ nên $d$ nằm trong (P).
Ta nhận thấy ${{\Delta }_{2}}$ cắt và không vuông góc với (P). Gọi $d'$ là hình chiếu của ${{\Delta }_{2}}$ trên (P).
Khi đó để góc giữa $d$ và ${{\Delta }_{2}}$ là nhỏ nhất thì $d$ song song hoặc trùng với $d'$. Suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{d'}}}$
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ${{\Delta }_{2}}$ và $d'$. Ta có $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }_{2}}}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 4;4;-2 \right)=2\left( 2;2;-1 \right)$
Suy ra $d'$ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên $\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 4;-5;-2 \right)$
PT chính tắc của $d$ đi qua $A$ và có vtcp $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left( 4;-5;-2 \right)$ là $:\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z+1}{-2}.$
Kiểm tra, ta thấy $d$ đi qua điểm P.
Do $d$ là đường thẳng đi qua $A$, $d$ cắt ${{\Delta }_{1}}$ nên $d$ nằm trong (P).
Ta nhận thấy ${{\Delta }_{2}}$ cắt và không vuông góc với (P). Gọi $d'$ là hình chiếu của ${{\Delta }_{2}}$ trên (P).
Khi đó để góc giữa $d$ và ${{\Delta }_{2}}$ là nhỏ nhất thì $d$ song song hoặc trùng với $d'$. Suy ra $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{d'}}}$
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ${{\Delta }_{2}}$ và $d'$. Ta có $\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{{{\Delta }_{2}}}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 4;4;-2 \right)=2\left( 2;2;-1 \right)$
Suy ra $d'$ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên $\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{Q}}},\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( 4;-5;-2 \right)$
PT chính tắc của $d$ đi qua $A$ và có vtcp $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{d'}}}=\left( 4;-5;-2 \right)$ là $:\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y}{-5}=\dfrac{z+1}{-2}.$
Kiểm tra, ta thấy $d$ đi qua điểm P.
Đáp án C.