Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho các điểm $A\left(...

Cách giải:
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ sao cho $\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( 3-a \right)-2\left( 1-a \right)+3\left( 5-a \right)=0 \\
& \left( 1-b \right)-2\left( -5-b \right)+3\left( -1-b \right)=0 \\
& \left( -2-c \right)-2\left( 4-c \right)+3\left( 0-c \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2a+16=0 \\
& -2b+8=0 \\
& -2c-10=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=8 \\
& b=4 \\
& c=-5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 8;4;-5 \right).$
Khi đó ta có:
$\left| \overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|$
$=\left| \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IC} \right|$
$=\left| 2\overrightarrow{MI}+\left( \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right) \right|$
$=2MI=10$
$\Rightarrow MI=5$
$\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( 8;4;-5 \right),$ bán kính $R=5.$
Lại có $M\in \left( Oxz \right)$ nên $M$ thuộc đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( Oxz \right).$
Phương trình mặt phẳng $\left( Oxz \right)$ là $y=0$ nên $d\left( I;\left( Oxz \right) \right)=\left| {{y}_{I}} \right|=4=d.$
$\Rightarrow $ Bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3.$
Ta có $\overrightarrow{IH}=\left( a-8;-4;c+5 \right).$ Vì $IH\bot \left( Oxz \right)$ nên $\overrightarrow{IH}$ và $\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)$ cùng phương.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-8=0 \\
& c+5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=8 \\
& c=-5 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy $T=a+c+r=8+\left( -5 \right)+3=6.$