Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A\left( 1;0;2 \right)$, $B\left( -1;1;3 \right)$, $C\left( 3;2;0 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-2z+1=0$. Biết rằng điểm $M\left( a;b;c \right)$ thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a+b+c$ bằng:
A. $-1$
B. 1
C. 3
D. 5
A. $-1$
B. 1
C. 3
D. 5
Phương pháp giải:
- Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}$. Phân tích $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}$ theo MI.
- Chứng minh đó $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- Với I cố định, tìm vị trí của $M\in \left( P \right)$ để $I{{M}_{\min }}$.
- Tìm tọa độ điểm I, từ đó dựa vào mối quan hệ giữa IM và $\left( P \right)$ để tìm tọa độ điểm M.
Giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}$. Khi đó ta có:
$M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{MB}}^{2}}-{{\overrightarrow{MC}}^{2}}$
$={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=2{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)+{{\overrightarrow{IA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{IB}}^{2}}-{{\overrightarrow{IC}}^{2}}$
$=2M{{I}^{2}}+\left( I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}} \right)$
Vì $I,A,B,C$ cố định nên $I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}$ không đổi, do đó $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà $M\in \left( P \right)$ nên $IM$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên $\left( P \right)$ hay $IM\bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{IM}$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;-2 \right)$ cùng phương, với $\overrightarrow{{{n}_{P}}}$ là 1 vtpt của $\left( P \right)$.
Tìm tọa độ điểm I ta gọi $I\left( x;y;z \right)$. Ta có:
$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}$
$\Rightarrow \left( x-1;y;z-2 \right)+2\left( x+1;y-1;z-3 \right)-\left( x-3;y-2;z \right)=\vec{0}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x-1+2\left( x+1 \right)-\left( x-3 \right)=0 \\
y+2\left( y-1 \right)-\left( y-2 \right)=0 \\
z-2+2\left( z-3 \right)-z=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2x+4=0 \\
2y=0 \\
2z-8=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-2 \\
y=0 \\
z=4 \\
\end{array} \right.\Rightarrow I\left( -2;0;4 \right)$
Khi đó ta có $\overrightarrow{IM}=\left( a+2;b;c-4 \right)$
Vì $\overrightarrow{IM}$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;-2 \right)$ cùng phương, lại có $M\in \left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{a+2}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c-4}{-2} \\
a+2b-2c+1=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2a-b+4=0 \\
b+c-4=0 \\
a+2b-2c+1=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=-1 \\
b=2 \\
c=2 \\
\end{array} \right.$
Vậy $a+b+c=-1+2+2=3$
- Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}$. Phân tích $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}$ theo MI.
- Chứng minh đó $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- Với I cố định, tìm vị trí của $M\in \left( P \right)$ để $I{{M}_{\min }}$.
- Tìm tọa độ điểm I, từ đó dựa vào mối quan hệ giữa IM và $\left( P \right)$ để tìm tọa độ điểm M.
Giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}$. Khi đó ta có:
$M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{MB}}^{2}}-{{\overrightarrow{MC}}^{2}}$
$={{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=2{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)+{{\overrightarrow{IA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{IB}}^{2}}-{{\overrightarrow{IC}}^{2}}$
$=2M{{I}^{2}}+\left( I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}} \right)$
Vì $I,A,B,C$ cố định nên $I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}$ không đổi, do đó $M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà $M\in \left( P \right)$ nên $IM$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên $\left( P \right)$ hay $IM\bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{IM}$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;-2 \right)$ cùng phương, với $\overrightarrow{{{n}_{P}}}$ là 1 vtpt của $\left( P \right)$.
Tìm tọa độ điểm I ta gọi $I\left( x;y;z \right)$. Ta có:
$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}$
$\Rightarrow \left( x-1;y;z-2 \right)+2\left( x+1;y-1;z-3 \right)-\left( x-3;y-2;z \right)=\vec{0}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x-1+2\left( x+1 \right)-\left( x-3 \right)=0 \\
y+2\left( y-1 \right)-\left( y-2 \right)=0 \\
z-2+2\left( z-3 \right)-z=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2x+4=0 \\
2y=0 \\
2z-8=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
x=-2 \\
y=0 \\
z=4 \\
\end{array} \right.\Rightarrow I\left( -2;0;4 \right)$
Khi đó ta có $\overrightarrow{IM}=\left( a+2;b;c-4 \right)$
Vì $\overrightarrow{IM}$ và $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;2;-2 \right)$ cùng phương, lại có $M\in \left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{a+2}{1}=\dfrac{b}{2}=\dfrac{c-4}{-2} \\
a+2b-2c+1=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
2a-b+4=0 \\
b+c-4=0 \\
a+2b-2c+1=0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
a=-1 \\
b=2 \\
c=2 \\
\end{array} \right.$
Vậy $a+b+c=-1+2+2=3$
Đáp án C.