Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A(1;0;2)$, $B(-1;1;3)$, $C(3;2;0)$ và mặt phẳng $\left(...

Phương pháp giải:
- Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$. Phân tích $M{A}^2+2M{B}^2-M{C}^2$ theo MI.
- Chứng minh đó $M{A}^2+2M{B}^2-M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- Với I cố định, tìm vị trí của $M\in \left(P\right)$ để $I{M}_{min}$.
- Tìm tọa độ điểm I, từ đó dựa vào mối quan hệ giữa IM và $\left(P\right)$ để tìm tọa độ điểm M.
Giải chi tiết:
Gọi I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$. Khi đó ta có:
$M{A}^2+2M{B}^2-M{C}^2={\overrightarrow{MA}}^2+2{\overrightarrow{MB}}^2-{\overrightarrow{MC}}^2$
$={(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})}^2+2{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})}^2-{(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})}^2=2{\overrightarrow{MI}}^2+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC})+{\overrightarrow{IA}}^2+2{\overrightarrow{IB}}^2-{\overrightarrow{IC}}^2$
$=2M{I}^2+(I{A}^2+2I{B}^2-I{C}^2)$
Vì $I,A,B,C$ cố định nên $I{A}^2+2I{B}^2-I{C}^2$ không đổi, do đó $M{A}^2+2M{B}^2-M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MI$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà $M\in \left(P\right)$ nên $IM$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên $\left(P\right)$ hay $IM\mathrm{\perp }\left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{IM}$ và $\overrightarrow{n_P}=(1;2;-2)$ cùng phương, với $\overrightarrow{n_P}$ là 1 vtpt của $\left(P\right)$.
Tìm tọa độ điểm I ta gọi $I(x;y;z)$. Ta có:
$\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow (x-1;y;z-2)+2(x+1;y-1;z-3)-(x-3;y-2;z)=\overrightarrow{0}$
$\iff \{\begin{array}{l}x-1+2(x+1)-(x-3)=0\\ y+2(y-1)-(y-2)=0\\ z-2+2(z-3)-z=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2x+4=0\\ 2y=0\\ 2z-8=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-2\\ y=0\\ z=4\end{array}\Rightarrow I(-2;0;4)$
Khi đó ta có $\overrightarrow{IM}=(a+2;b;c-4)$
Vì $\overrightarrow{IM}$ và $\overrightarrow{n_P}=(1;2;-2)$ cùng phương, lại có $M\in \left(P\right)$ nên ta có hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{a+2}{1}}={\displaystyle \frac{b}{2}}={\displaystyle \frac{c-4}{-2}}\\ a+2b-2c+1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2a-b+4=0\\ b+c-4=0\\ a+2b-2c+1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\\ c=2\end{array}$
Vậy $a+b+c=-1+2+2=3$