Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 0; 1; 2 \right)$, $B\left( 2; -2; 0 \right)$, $C\left( -2; 0; 1 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$, trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có phương trình là
A. $4x-2y-z+4=0$.
B. $4x-2y+z+4=0$.
C. $4x+2y+z-4=0$.
D. $4x+2y-z+4=0$.
A. $4x-2y-z+4=0$.
B. $4x-2y+z+4=0$.
C. $4x+2y+z-4=0$.
D. $4x+2y-z+4=0$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 2; -3; -2 \right)$, $\overrightarrow{AC}=\left( -2; -1; -1 \right)$ nên $\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1; 6; -8 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $x+6y-8z+10=0$.
Phương trình mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AC$ là: $2x+y+z-2=0$.
Phương trình mặt phẳng qua $C$ và vuông góc với $AB$ là: $2x-3y-2z+6=0$.
Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ nên $H\left( -\dfrac{22}{101}; \dfrac{70}{101}; \dfrac{176}{101} \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$, $H$ nên $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{AH}=\left( -\dfrac{22}{101};-\dfrac{31}{101}; -\dfrac{26}{101} \right)=-\dfrac{1}{101}\left( 22; 31; 26 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left( ABC \right)}}=\left( 1; 6; -8 \right)$.
Vậy $\left[ {{\overrightarrow{n}}_{\left( ABC \right)}};{{\overrightarrow{u}}_{AH}} \right]=\left( 404; -202; -101 \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.
Chọn ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 4; -2; -1 \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $4x-2y-z+4=0$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $x+6y-8z+10=0$.
Phương trình mặt phẳng qua $B$ và vuông góc với $AC$ là: $2x+y+z-2=0$.
Phương trình mặt phẳng qua $C$ và vuông góc với $AB$ là: $2x-3y-2z+6=0$.
Giao điểm của ba mặt phẳng trên là trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ nên $H\left( -\dfrac{22}{101}; \dfrac{70}{101}; \dfrac{176}{101} \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$, $H$ nên $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{AH}=\left( -\dfrac{22}{101};-\dfrac{31}{101}; -\dfrac{26}{101} \right)=-\dfrac{1}{101}\left( 22; 31; 26 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $\overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left( ABC \right)}}=\left( 1; 6; -8 \right)$.
Vậy $\left[ {{\overrightarrow{n}}_{\left( ABC \right)}};{{\overrightarrow{u}}_{AH}} \right]=\left( 404; -202; -101 \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.
Chọn ${{\vec{n}}_{P}}=\left( 4; -2; -1 \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $4x-2y-z+4=0$.
Đáp án A.