Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left( 2;0;0 \right)$, $B\left( 0;4;0 \right)$, $C\left( 2;4;0 \right)$, $D\left( 0;0;6 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z=0$. Có bao nhiêu mặt phẳng cắt $\left( S \right)$ theo một đường tròn có diện tích $14\pi $ và cách đều năm điểm $O,A,B,C,D$ ( $O$ là gốc tọa độ).
A. $5$.
B. $3$.
C. $1$.
D. Vô số.
A. $5$.
B. $3$.
C. $1$.
D. Vô số.
Mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-6z=0$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{14}$.
Vì các điểm $A,B,C,D$ nên gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng thỏa đề bài thì $\left( P \right)$ không qua $O$.
Giả sử $\left( P \right):ax+by+cz+2=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$ là phương trình mặt phẳng cần tìm.
Gọi $r$ là bán kính đường trong giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ khi đó ta có được $r=R=\sqrt{14}$ nên tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ của mặt cầu $\left( S \right)$ nằm trong $\left( P \right)$ khi đó ta có được $a+2b+3c+2=0$
Do $\left( P \right)$ cách đều năm điểm $O,A,B,C,D$ nên
$\dfrac{\left| 2a+2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 4b+2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+4b+2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 6c+2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{2}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \left| a+1 \right|=\left| 2b+1 \right|=\left| a+2b+1 \right|=\left| 3c+1 \right|=1.$
Kết hợp với điều kiện $a+2b+3c+2=0$ ta có hệ
Vì các điểm $A,B,C,D$ nên gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng thỏa đề bài thì $\left( P \right)$ không qua $O$.
Giả sử $\left( P \right):ax+by+cz+2=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$ là phương trình mặt phẳng cần tìm.
Gọi $r$ là bán kính đường trong giao tuyến của $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$ khi đó ta có được $r=R=\sqrt{14}$ nên tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ của mặt cầu $\left( S \right)$ nằm trong $\left( P \right)$ khi đó ta có được $a+2b+3c+2=0$
Do $\left( P \right)$ cách đều năm điểm $O,A,B,C,D$ nên
$\dfrac{\left| 2a+2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 4b+2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 2a+4b+2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{\left| 6c+2 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{2}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}$
$\Leftrightarrow \left| a+1 \right|=\left| 2b+1 \right|=\left| a+2b+1 \right|=\left| 3c+1 \right|=1.$
Kết hợp với điều kiện $a+2b+3c+2=0$ ta có hệ
$\left\{\begin{array}{l}|a+1|=1 \\ |2 b+1|=1 \\ |3 c+1|=1 \\ a+2 b+3 c+2=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=-2, b=c=0 \\ a=0, b=-1, c=0 \\ a=0, b=0, c=-\dfrac{2}{3}\end{array}\right.\right.$
Vậy có 3 mặt phẳng thỏa đề.Đáp án B.