Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( -2;1;0 \right)$, $B\left( 4;4;-3 \right)$, $C\left( 2;3;-2 \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-1}{-1}$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $\left( d \right)$ sao cho $A$, $B$, $C$ ở cùng phía đối với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$. Gọi ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$, ${{d}_{3}}$ lần lượt là khoảng cách từ $A$, $B$, $C$ đến $\left( \alpha \right)$. Tìm giá trị lớn nhất của $T={{d}_{1}}+2{{d}_{2}}+3{{d}_{3}}$.
A. ${{T}_{\text{max}}}=2\sqrt{21}$.
B. ${{T}_{\text{max}}}=6\sqrt{14}$.
C. ${{T}_{\text{max}}}=\sqrt{14}+\dfrac{\sqrt{203}}{3}+3\sqrt{21}$.
D. ${{T}_{\text{max}}}=\sqrt{203}$.
Ta có $AB=3\sqrt{6}$ ; $AC=2\sqrt{6}$ ; $BC=\sqrt{6}$.
Ta có $T={{d}_{1}}+2{{d}_{2}}+3{{d}_{3}}={{d}_{1}}+{{d}_{2}}+{{d}_{2}}+{{d}_{3}}+2{{d}_{3}}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$, và $N$ là trung điểm của $BC$ ta có $2d\left( M;\left( \alpha \right) \right)={{d}_{1}}+{{d}_{2}}$ và $2d\left( N;\left( \alpha \right) \right)={{d}_{2}}+{{d}_{3}}$.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNC$. Khi đó ta có $T=2d\left( M;\left( \alpha \right) \right)+2d\left( N;\left( \alpha \right) \right)+2{{d}_{3}}=6d\left( G;\left( \alpha \right) \right)$.
Do đó $T=6d\left( G;\left( \alpha \right) \right)\le 6d\left( G;\left( d \right) \right)$.
Ta có $M\left( 1;\dfrac{5}{2};\dfrac{-3}{2} \right)$ ; $N\left( 3;\dfrac{7}{2};\dfrac{-5}{2} \right)$ suy ra $G\left( 2;3;-2 \right)$.
Gọi $H\left( 1+t;1-2t;1-t \right)$ là hình chiếu của $G$ lên đường thẳng $\left( d \right)$, ta có $\overrightarrow{GH}=\left( t-1;-2t-2;3-t \right)$.
$\overrightarrow{GH}.{{\vec{u}}_{d}}=0\Leftrightarrow \left( t-1 \right)-2\left( -2t-2 \right)-\left( 3-t \right)=0\Leftrightarrow t=0$.
Vậy ${{T}_{\max }}=6GH=6\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}=6\sqrt{14}$.
A. ${{T}_{\text{max}}}=2\sqrt{21}$.
B. ${{T}_{\text{max}}}=6\sqrt{14}$.
C. ${{T}_{\text{max}}}=\sqrt{14}+\dfrac{\sqrt{203}}{3}+3\sqrt{21}$.
D. ${{T}_{\text{max}}}=\sqrt{203}$.
Ta có $T={{d}_{1}}+2{{d}_{2}}+3{{d}_{3}}={{d}_{1}}+{{d}_{2}}+{{d}_{2}}+{{d}_{3}}+2{{d}_{3}}$.
Gọi $M$ là trung điểm $AB$, và $N$ là trung điểm của $BC$ ta có $2d\left( M;\left( \alpha \right) \right)={{d}_{1}}+{{d}_{2}}$ và $2d\left( N;\left( \alpha \right) \right)={{d}_{2}}+{{d}_{3}}$.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNC$. Khi đó ta có $T=2d\left( M;\left( \alpha \right) \right)+2d\left( N;\left( \alpha \right) \right)+2{{d}_{3}}=6d\left( G;\left( \alpha \right) \right)$.
Do đó $T=6d\left( G;\left( \alpha \right) \right)\le 6d\left( G;\left( d \right) \right)$.
Ta có $M\left( 1;\dfrac{5}{2};\dfrac{-3}{2} \right)$ ; $N\left( 3;\dfrac{7}{2};\dfrac{-5}{2} \right)$ suy ra $G\left( 2;3;-2 \right)$.
Gọi $H\left( 1+t;1-2t;1-t \right)$ là hình chiếu của $G$ lên đường thẳng $\left( d \right)$, ta có $\overrightarrow{GH}=\left( t-1;-2t-2;3-t \right)$.
$\overrightarrow{GH}.{{\vec{u}}_{d}}=0\Leftrightarrow \left( t-1 \right)-2\left( -2t-2 \right)-\left( 3-t \right)=0\Leftrightarrow t=0$.
Vậy ${{T}_{\max }}=6GH=6\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}=6\sqrt{14}$.
Đáp án B.