Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho $A\left( a;0;0...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, cho

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

với

a, b, c > 0

. Biết mặt phẳng

(A B C)

qua

I (1; 3; 3)

và thể tích tứ diện

O A B C

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình

(A B C)

là
A.

3 x + 3 y + z - 15 = 0

.
B.

x + 3 y + 3 z - 19 = 0

.
C.

3 x + y + z - 9 = 0

.
D.

x + y + 3 z - 13 = 0

.

Phương trình

(A B C) : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

.Mà

I (1; 3; 3) \in (A B C)

nên

\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 1

.
Ta có

V_{O A B C} = \frac{1}{6} | [\vec{O A}, \vec{O B}] . \vec{O C} | = \frac{1}{6} a b c

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

{(\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c})}^{3} \geq \frac{27.9}{a b c} \Rightarrow a b c \geq 243

.
Vậy

min V_{O A B C} = \frac{81}{2} \Leftrightarrow a = 3, b = 9, c = 9

.
Phương trình

(A B C) : 3 x + y + z - 9 = 0

.

Đáp án C.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A\left( a;0;0...