Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$ với $a,b,c>0$. Biết mặt phẳng $\left( ABC \right)$ qua $I\left( 1;3;3 \right)$ và thể tích tứ diện $OABC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình $\left( ABC \right)$ là
A. $3x+3y+z-15=0$.
B. $x+3y+3z-19=0$.
C. $3x+y+z-9=0$.
D. $x+y+3z-13=0$.
A. $3x+3y+z-15=0$.
B. $x+3y+3z-19=0$.
C. $3x+y+z-9=0$.
D. $x+y+3z-13=0$.
Phương trình $\left( ABC \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.Mà $I\left( 1;3;3 \right)\in \left( ABC \right)$ nên $\dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}=1$.
Ta có ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right].\overrightarrow{OC} \right|=\dfrac{1}{6}abc$
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ${{\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c} \right)}^{3}}\ge \dfrac{27.9}{abc}\Rightarrow abc\ge 243$.
Vậy $\min {{V}_{OABC}}=\dfrac{81}{2}\Leftrightarrow a=3,b=9,c=9$.
Phương trình $\left( ABC \right):3x+y+z-9=0$.
Ta có ${{V}_{OABC}}=\dfrac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right].\overrightarrow{OC} \right|=\dfrac{1}{6}abc$
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ${{\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c} \right)}^{3}}\ge \dfrac{27.9}{abc}\Rightarrow abc\ge 243$.
Vậy $\min {{V}_{OABC}}=\dfrac{81}{2}\Leftrightarrow a=3,b=9,c=9$.
Phương trình $\left( ABC \right):3x+y+z-9=0$.
Đáp án C.