Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho 3 đường thẳng ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=3+2t \\
& z=-2-t \\
\end{aligned} \right., $ $ {{d}_{2}}:\dfrac{x-5}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-2}{-1} $ và $ {{d}_{3}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-1}{3}. $ Đường thẳng $ d $ song song với $ {{d}_{3}} $ cắt $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}}$ có phương trình là:
A. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{1}.$
B. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-1}{3}$
C. $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$
D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}$
& x=3+t \\
& y=3+2t \\
& z=-2-t \\
\end{aligned} \right., $ $ {{d}_{2}}:\dfrac{x-5}{3}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z-2}{-1} $ và $ {{d}_{3}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-1}{3}. $ Đường thẳng $ d $ song song với $ {{d}_{3}} $ cắt $ {{d}_{1}} $ và $ {{d}_{2}}$ có phương trình là:
A. $\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{1}.$
B. $\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-1}{3}$
C. $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+2}{3}$
D. $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}$
Phương pháp:
- Gọi $A=d\cap {{d}_{1}},B=d\cap {{d}_{2}}.$ Tham số hóa tọa độ điểm $A,B$ theo biến $a,b.$
- Giải phương trình $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{u}_{3}}}$ cùng phương tìm $a,b$ với $\overrightarrow{{{u}_{3}}}$ là 1 VTCP của đường thẳng ${{d}_{3}}.$ Từ đó suy ra tọa độ điểm $A,B.$
- Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A,B.$
Cách giải:
Gọi $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( 3+a;3+2a;-2-a \right)=d\cap {{d}_{1}} \\
& B\left( 5+3b;-1-2b;2-b \right)=d\cap {{d}_{2}} \\
\end{aligned} \right.. $ Ta có $ \overrightarrow{AB}=\left( 3b-a+2;-2b-2a-4;-b+a+4 \right).$
Vì $d//{{d}_{3}}$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{u}_{3}}}$ cùng phương, với $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 1;2;3 \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng ${{d}_{3}}.$
Khi đó ta có:
$\dfrac{3b-a+2}{1}=\dfrac{-2b-2a-4}{2}=\dfrac{-b+a+4}{3}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 6b-2a+4=-2b-2a-4 \\
& 9b-3a+6=-b+a+4 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 8b=-8 \\
& 10b-4a+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-1 \\
& a=-2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A\left( 1;-1;0 \right),B\left( 2;1;3 \right).$
Vậy phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A\left( 1;-1;0 \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 1;2;3 \right)$ là $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}.$
- Gọi $A=d\cap {{d}_{1}},B=d\cap {{d}_{2}}.$ Tham số hóa tọa độ điểm $A,B$ theo biến $a,b.$
- Giải phương trình $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{u}_{3}}}$ cùng phương tìm $a,b$ với $\overrightarrow{{{u}_{3}}}$ là 1 VTCP của đường thẳng ${{d}_{3}}.$ Từ đó suy ra tọa độ điểm $A,B.$
- Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A,B.$
Cách giải:
Gọi $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( 3+a;3+2a;-2-a \right)=d\cap {{d}_{1}} \\
& B\left( 5+3b;-1-2b;2-b \right)=d\cap {{d}_{2}} \\
\end{aligned} \right.. $ Ta có $ \overrightarrow{AB}=\left( 3b-a+2;-2b-2a-4;-b+a+4 \right).$
Vì $d//{{d}_{3}}$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{u}_{3}}}$ cùng phương, với $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 1;2;3 \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng ${{d}_{3}}.$
Khi đó ta có:
$\dfrac{3b-a+2}{1}=\dfrac{-2b-2a-4}{2}=\dfrac{-b+a+4}{3}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 6b-2a+4=-2b-2a-4 \\
& 9b-3a+6=-b+a+4 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 8b=-8 \\
& 10b-4a+2=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=-1 \\
& a=-2 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow A\left( 1;-1;0 \right),B\left( 2;1;3 \right).$
Vậy phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A\left( 1;-1;0 \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow{{{u}_{3}}}=\left( 1;2;3 \right)$ là $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{3}.$
Đáp án D.