Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ biết $\left| \overrightarrow{u} \right|=2,\left| \overrightarrow{v} \right|=1$ và góc giữa 2 vecto $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ bằng $\dfrac{2\pi }{3}.$ Tìm $k$ để vecto $\overrightarrow{p}=k\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ vuông góc với vecto $\overrightarrow{q}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}.$
A. $k=-\dfrac{2}{5}$
B. $k=\dfrac{2}{5}$
C. $k=\dfrac{5}{2}$
D. $k=2$
A. $k=-\dfrac{2}{5}$
B. $k=\dfrac{2}{5}$
C. $k=\dfrac{5}{2}$
D. $k=2$
Phương pháp:
- Tính $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{v} \right|.\cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right).$
- Sử dụng: $\overrightarrow{p}=k\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ vuông góc với $\overrightarrow{q}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ khi $\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q}=0.$
Cách giải:
Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{v} \right|.\cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)=2.1.\cos \dfrac{2\pi }{3}=-1$
Ta có: $\overrightarrow{p}=k\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ vuông góc với $\overrightarrow{q}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ khi
$\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q}=0$
$\Leftrightarrow \left( k\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right)\left( \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right)=0$
$\Leftrightarrow k{{\overrightarrow{u}}^{2}}+\left( 1-k \right).\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-{{\overrightarrow{v}}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow 4k-\left( 1-k \right)-1=0$
$\Leftrightarrow k=\dfrac{2}{5}$
- Tính $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{v} \right|.\cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right).$
- Sử dụng: $\overrightarrow{p}=k\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ vuông góc với $\overrightarrow{q}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ khi $\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q}=0.$
Cách giải:
Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{v} \right|.\cos \left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)=2.1.\cos \dfrac{2\pi }{3}=-1$
Ta có: $\overrightarrow{p}=k\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ vuông góc với $\overrightarrow{q}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ khi
$\overrightarrow{p}.\overrightarrow{q}=0$
$\Leftrightarrow \left( k\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right)\left( \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right)=0$
$\Leftrightarrow k{{\overrightarrow{u}}^{2}}+\left( 1-k \right).\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}-{{\overrightarrow{v}}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow 4k-\left( 1-k \right)-1=0$
$\Leftrightarrow k=\dfrac{2}{5}$
Đáp án B.