Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right): 4x+3y-z+1=0$ và đường thẳng $ d: \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-6}{3}=\dfrac{z+4}{1}$, sin của góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng
A. $\dfrac{5}{13}$.
B. $\dfrac{8}{13}$.
C. $\dfrac{1}{13}$.
D. $\dfrac{12}{13}$.
A. $\dfrac{5}{13}$.
B. $\dfrac{8}{13}$.
C. $\dfrac{1}{13}$.
D. $\dfrac{12}{13}$.
Mặt phẳng $\left( P \right): 4x+3y-z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 4 ;3 ; -1 \right)$.
Đường thẳng $ d: \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-6}{3}=\dfrac{z+1}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 4 ;3 ; 1 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
Khi đó $\sin \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{n} ; \overrightarrow{u} \right) \right|$ $=\dfrac{\left| \overrightarrow{n} . \overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|\left| \overrightarrow{u} \right|}$ $=\dfrac{\left| 4.4+3.3+1\left( -1 \right) \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}$ $=\dfrac{12}{13}$.
Đường thẳng $ d: \dfrac{x-1}{4}=\dfrac{y-6}{3}=\dfrac{z+1}{1}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 4 ;3 ; 1 \right)$.
Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
Khi đó $\sin \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{n} ; \overrightarrow{u} \right) \right|$ $=\dfrac{\left| \overrightarrow{n} . \overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n} \right|\left| \overrightarrow{u} \right|}$ $=\dfrac{\left| 4.4+3.3+1\left( -1 \right) \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}$ $=\dfrac{12}{13}$.
Đáp án D.