Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z+1=0$ và điểm $I\left( 1;-1;1 \right).$ Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right).$
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$
B. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=2$
C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=2$
D. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4$
A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4$
B. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=2$
C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=2$
D. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4$
Phương pháp:
- Mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có bán kính $R=d\left( I;\left( P \right) \right).$
- Khoảng cách từ điểm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$ là
$d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}.$
- Mặt cầu tâm $I\left( a;b;c \right)$, bán kính $R$ có phương trình $\left( S \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}.$
Cách giải:
Bán kính mặt cầu là $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1-2.\left( -1 \right)+2.1+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=2.$
Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4.$
- Mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có bán kính $R=d\left( I;\left( P \right) \right).$
- Khoảng cách từ điểm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$ là
$d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}.$
- Mặt cầu tâm $I\left( a;b;c \right)$, bán kính $R$ có phương trình $\left( S \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}.$
Cách giải:
Bán kính mặt cầu là $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1-2.\left( -1 \right)+2.1+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=2.$
Vậy phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=4.$
Đáp án A.