Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left(S_{1}\right): x^{2}+(y-1)^{2}+(z-2)^{2}=16$, $\left(S_{2}\right):(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}=1$ và điểm $A\left(\dfrac{4}{3} ; \dfrac{7}{3} ;-\dfrac{14}{3}\right)$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $\left(S_{1}\right)$ và $(P)$ là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mắt cầu $\left(S_{1}\right)$ và $\left(S_{2}\right)$. Xét các điểm $M$ thay đổi và thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho đường thẳng I M tiếp xúc với mặt cầu $\left(S_{2}\right) .$ Khi đoạn thẳng $AM$ ngắn nhất thì $M=\left( a;b;c \right)$. Tính giá trị của $T=a+b+c$.
A. $T=1$.
B. $T=-1$.
C. $T=\dfrac{7}{3}$.
D. $T=-\dfrac{7}{3}$.
Tọa độ điểm $I\left( 0;1;2 \right)$. Gọi ${{I}_{2}}$ là tâm mặt cầu $\left(S_{2}\right):(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}=1$ thì ${{I}_{2}}\left( 1;-1;0 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=1$. $\left( {{S}_{1}} \right)$ có bán kính $R=4$. $\overrightarrow{I\ {{I}_{2}}}=\left( 1;-2;-2 \right)\Rightarrow I{{I}_{2}}=3=R-{{R}_{2}}$.
Dó đó $\left( {{S}_{2}} \right)$ tiếp xúc trong với $\left( {{S}_{1}} \right)$ tại $H$. Giả sử $H\left( x;y;z \right)$ ta có $\overrightarrow{{{I}_{2}}H}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{I{{I}_{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1=\dfrac{1}{3} \\
& y+1=\dfrac{-2}{3} \\
& z=\dfrac{-2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{4}{3} \\
& y=\dfrac{-5}{3} \\
& z=\dfrac{-2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{-5}{3};\dfrac{-2}{3} \right)$
$\overrightarrow{AH}=\left( 0;-4;-4 \right)\Rightarrow AH=4\sqrt{2}$.
Do ${{I}_{2}}N=2\sqrt{2}$.
$\Delta IN{{I}_{2}}\sim \Delta IHM\Rightarrow \dfrac{MH}{IN}=\dfrac{IH}{IM}\Rightarrow HM=\dfrac{IH.IN}{IM}=\dfrac{4.1}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
$M$ nằm trên đường tròn tâm $H$, bán kính $r=\sqrt{2}$
.
$AM$ ngắn nhất khi $\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MH}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{4}{3}-a=-3\left( \dfrac{4}{3}-a \right) \\
& \dfrac{7}{3}-b=-3\left( -\dfrac{5}{3}-b \right) \\
& \dfrac{-14}{3}-c=-3\left( -\dfrac{2}{3}-c \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{4}{3} \\
& b=\dfrac{-2}{3} \\
& c=\dfrac{-5}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=-1$
A. $T=1$.
B. $T=-1$.
C. $T=\dfrac{7}{3}$.
D. $T=-\dfrac{7}{3}$.
Tọa độ điểm $I\left( 0;1;2 \right)$. Gọi ${{I}_{2}}$ là tâm mặt cầu $\left(S_{2}\right):(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}=1$ thì ${{I}_{2}}\left( 1;-1;0 \right)$, bán kính ${{R}_{2}}=1$. $\left( {{S}_{1}} \right)$ có bán kính $R=4$. $\overrightarrow{I\ {{I}_{2}}}=\left( 1;-2;-2 \right)\Rightarrow I{{I}_{2}}=3=R-{{R}_{2}}$.
Dó đó $\left( {{S}_{2}} \right)$ tiếp xúc trong với $\left( {{S}_{1}} \right)$ tại $H$. Giả sử $H\left( x;y;z \right)$ ta có $\overrightarrow{{{I}_{2}}H}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{I{{I}_{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1=\dfrac{1}{3} \\
& y+1=\dfrac{-2}{3} \\
& z=\dfrac{-2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{4}{3} \\
& y=\dfrac{-5}{3} \\
& z=\dfrac{-2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{-5}{3};\dfrac{-2}{3} \right)$
$\overrightarrow{AH}=\left( 0;-4;-4 \right)\Rightarrow AH=4\sqrt{2}$.
Do ${{I}_{2}}N=2\sqrt{2}$.
$\Delta IN{{I}_{2}}\sim \Delta IHM\Rightarrow \dfrac{MH}{IN}=\dfrac{IH}{IM}\Rightarrow HM=\dfrac{IH.IN}{IM}=\dfrac{4.1}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.
$M$ nằm trên đường tròn tâm $H$, bán kính $r=\sqrt{2}$
.
$AM$ ngắn nhất khi $\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MH}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{4}{3}-a=-3\left( \dfrac{4}{3}-a \right) \\
& \dfrac{7}{3}-b=-3\left( -\dfrac{5}{3}-b \right) \\
& \dfrac{-14}{3}-c=-3\left( -\dfrac{2}{3}-c \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{4}{3} \\
& b=\dfrac{-2}{3} \\
& c=\dfrac{-5}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a+b+c=-1$
Đáp án B.