Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $Oxyz,$ cho bốn điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right),D\left( 1;2;-1 \right),$ với $a,b,c$ là các số thực khác 0. Biết rằng bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng khi khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là lớn nhất, giá trị $a+b+c$ bằng
A. 2
B. 3
C. 15
D. 4
A. 2
B. 3
C. 15
D. 4
Phương pháp:
- Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\left( ABC \right),$ chứng minh $d\left( O;\left( ABC \right) \right)=OH\le OD.$
- Viết phương trình mặt phẳng biết VTPT và 1 điểm thuộc mặt phẳng.
- Tìm giao điểm của $\left( ABC \right)$ với các trục tọa độ và suy ra tọa độ các điểm $A,B,C.$
Cách giải:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên (quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên).
Do đó $d{{\left( O;\left( ABC \right) \right)}_{max}}=OD\Leftrightarrow H\equiv D.$
Khi đó $OD\bot \left( ABC \right)$ nên $\left( ABC \right)$ nhận $\overrightarrow{OD}=\left( 1;2;-1 \right)$ là 1 VTPT.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $1\left( x-1 \right)+2\left( y-2 \right)-1\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow x+2y-z-6=0$
Khi đó ta có $A\left( 6;0;0 \right),B\left( 0;3;0 \right),C\left( 0;0;-6 \right).$
$\Rightarrow a=6,b=3,c=-6.$
Vậy $a+b+c=3.$
- Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $\left( ABC \right),$ chứng minh $d\left( O;\left( ABC \right) \right)=OH\le OD.$
- Viết phương trình mặt phẳng biết VTPT và 1 điểm thuộc mặt phẳng.
- Tìm giao điểm của $\left( ABC \right)$ với các trục tọa độ và suy ra tọa độ các điểm $A,B,C.$
Cách giải:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên (quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên).
Do đó $d{{\left( O;\left( ABC \right) \right)}_{max}}=OD\Leftrightarrow H\equiv D.$
Khi đó $OD\bot \left( ABC \right)$ nên $\left( ABC \right)$ nhận $\overrightarrow{OD}=\left( 1;2;-1 \right)$ là 1 VTPT.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là: $1\left( x-1 \right)+2\left( y-2 \right)-1\left( z+1 \right)=0\Leftrightarrow x+2y-z-6=0$
Khi đó ta có $A\left( 6;0;0 \right),B\left( 0;3;0 \right),C\left( 0;0;-6 \right).$
$\Rightarrow a=6,b=3,c=-6.$
Vậy $a+b+c=3.$
Đáp án B.