Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( 2;5;1 \right),B\left( -2;-6;2 \right),C\left( 1;2;-1 \right)$ và điểm $M\left( m;m;m \right),$ để $\left| \overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{AC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $m$ bằng
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 3.
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 3.
Ta có: $\overrightarrow{MB}=\left( -2-m;-6-m;2-m \right),\overrightarrow{AC}=\left( -1;-3;-2 \right).$
Suy ra tọa độ $\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{AC}=\left( -2-m+2;-6-m+6;2-m+4 \right)=\left( -m;-m;6-m \right).$
Vậy độ dài $\left| \overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{AC} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+{{m}^{2}}+{{\left( 6-m \right)}^{2}}}=\sqrt{3{{m}^{2}}-12m+36}=\sqrt{3{{\left( m-2 \right)}^{2}}+24}\ge 2\sqrt{6}$.
Suy ra $\left| \overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{AC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất $2\sqrt{6}$ khi $m=2.$
Suy ra tọa độ $\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{AC}=\left( -2-m+2;-6-m+6;2-m+4 \right)=\left( -m;-m;6-m \right).$
Vậy độ dài $\left| \overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{AC} \right|=\sqrt{{{m}^{2}}+{{m}^{2}}+{{\left( 6-m \right)}^{2}}}=\sqrt{3{{m}^{2}}-12m+36}=\sqrt{3{{\left( m-2 \right)}^{2}}+24}\ge 2\sqrt{6}$.
Suy ra $\left| \overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{AC} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất $2\sqrt{6}$ khi $m=2.$
Đáp án C.