Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( 1;0;2 \right),B\left( 2;3;-1 \right),C\left( 0;3;2 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-7=0.$ Khi điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $\left( P \right),$ hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $E=\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|.$
A. 8
B. $\dfrac{8}{3}$
C. $4\sqrt{3}$
D. 6
A. 8
B. $\dfrac{8}{3}$
C. $4\sqrt{3}$
D. 6
Phương pháp:
- Sử dụng: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}.$
- Khoảng cách từ điểm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$ là
$d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}.$
Cách giải:
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ta có $G\left( 1;2;1 \right).$
Ta có: $E=\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=3\left| \overrightarrow{MG} \right|=3MG.$
Do đó ${{E}_{\min }}\Leftrightarrow M{{G}_{\min }}\Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $\left( G \right)$ lên $\left( P \right).$ Khi đó $MG=d\left( G;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1-2.2+2.1-7 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{8}{3}$
Vậy ${{E}_{\min }}=3.\dfrac{8}{3}=8.$
- Sử dụng: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}.$
- Khoảng cách từ điểm $I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$ là
$d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}.$
Cách giải:
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ ta có $G\left( 1;2;1 \right).$
Ta có: $E=\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|=3\left| \overrightarrow{MG} \right|=3MG.$
Do đó ${{E}_{\min }}\Leftrightarrow M{{G}_{\min }}\Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $\left( G \right)$ lên $\left( P \right).$ Khi đó $MG=d\left( G;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 1-2.2+2.1-7 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\dfrac{8}{3}$
Vậy ${{E}_{\min }}=3.\dfrac{8}{3}=8.$
Đáp án A.