Google
Câu hỏi: Trong không gian $\text{Oxyz}$, cho mặt cầu $\left( S \right): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z=0$ và $\text{A} \left( 2 ;2 ;0 \right)$. Viết phương trình $\left( OAB \right)$, biết rằng $B$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$, có hoành độ dương và tam giác $OAB$ đều.
A. $x-y-z=0$.
B. $x-y+2z=0$.
C. $x-y+z=0$.
D. $x-y+2z=0$.
A. $x-y-z=0$.
B. $x-y+2z=0$.
C. $x-y+z=0$.
D. $x-y+2z=0$.
$A\in \left( S \right)$
Vì $B\in \left( S \right)$ và $\Delta OAB$ đều nên suy ra:
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2}-2{{x}_{B}}-2{{y}_{B}}-2{{z}_{B}}=0 \\
& OA=OB \\
& OA=AB \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2}-2{{x}_{B}}-2{{y}_{B}}-2{{z}_{B}}=0 \\
& 8={{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2} \\
& 8={{\left( {{x}_{B}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-2 \right)}^{2}}+{{z}_{B}}^{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}+{{y}_{B}}+{{z}_{B}}=4 \\
& 8={{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2} \\
& 0={{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2}-4\left( {{x}_{B}}+{{y}_{B}} \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}+{{y}_{B}}+{{z}_{B}}=4 \\
& 8={{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2} \\
& {{x}_{B}}+{{y}_{B}}=2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{B}}=2 \\
& 8={{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2} \\
& {{x}_{B}}+{{y}_{B}}=2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}=0 \\
& {{y}_{B}}=2 \\
& {{z}_{B}}=2 \\
\end{aligned} \right. (l)\vee \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}=2 \\
& {{y}_{B}}=0 \\
& {{z}_{B}}=2 \\
\end{aligned} \right. (n) \\
\end{aligned}$
Khi đó: $\overset{\to }{\mathop{OA}} =(2; 2; 0); \overset{\to }{\mathop{OB}} =(2; 0; 2)$ $\Rightarrow \left[ \overset{\to }{\mathop{OA}} ,\overset{\to }{\mathop{OB}} \right]=(4; -4; -4)$
Phương trình $\left( OAB \right): 4(x-2)-4(y-2)-4(z-0)=0$
$\Leftrightarrow x-y-z=0$
Vì $B\in \left( S \right)$ và $\Delta OAB$ đều nên suy ra:
$\begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2}-2{{x}_{B}}-2{{y}_{B}}-2{{z}_{B}}=0 \\
& OA=OB \\
& OA=AB \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2}-2{{x}_{B}}-2{{y}_{B}}-2{{z}_{B}}=0 \\
& 8={{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2} \\
& 8={{\left( {{x}_{B}}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-2 \right)}^{2}}+{{z}_{B}}^{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}+{{y}_{B}}+{{z}_{B}}=4 \\
& 8={{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2} \\
& 0={{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2}-4\left( {{x}_{B}}+{{y}_{B}} \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}+{{y}_{B}}+{{z}_{B}}=4 \\
& 8={{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2} \\
& {{x}_{B}}+{{y}_{B}}=2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{z}_{B}}=2 \\
& 8={{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}+{{z}_{B}}^{2} \\
& {{x}_{B}}+{{y}_{B}}=2 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}=0 \\
& {{y}_{B}}=2 \\
& {{z}_{B}}=2 \\
\end{aligned} \right. (l)\vee \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{B}}=2 \\
& {{y}_{B}}=0 \\
& {{z}_{B}}=2 \\
\end{aligned} \right. (n) \\
\end{aligned}$
Khi đó: $\overset{\to }{\mathop{OA}} =(2; 2; 0); \overset{\to }{\mathop{OB}} =(2; 0; 2)$ $\Rightarrow \left[ \overset{\to }{\mathop{OA}} ,\overset{\to }{\mathop{OB}} \right]=(4; -4; -4)$
Phương trình $\left( OAB \right): 4(x-2)-4(y-2)-4(z-0)=0$
$\Leftrightarrow x-y-z=0$
Đáp án A.