Google
Câu hỏi: Trong không gian ${Oxyz}$, xét ba điểm $A\left( a;0;0 \right)$, $B\left( 0;b;0 \right)$, $C\left( 0;0;c \right)$ với $a,b,c$ là các số thực thay đổi thoả mãn $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$. Biết rằng mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25$ cắt mặt phẳng $\left( ABC \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $4$. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $4$.
Điều kiện xác định của hệ thức ${\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1}$ là $abc\ne 0$.
Khi đó phương trình mặt phẳng ${\left(A B C \right)}$ là ${\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1}$.
Vì ${\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1}$ nên mặt phẳng ${\left(A B C \right)}$ đi qua điểm ${M\left(1;-1;1 \right)}$ và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow {n}=\left(\dfrac{1}{a}; \dfrac{1}{b} ; \dfrac{1}{c}\right)}$.
Mặt cầu ${\left(S \right)}$ có tâm ${I\left(2;1;3 \right)}$ và bán kính ${R=5}$.
Ta có $\overrightarrow{MI}=\left( 1;2;2 \right)$ nên ${I M=3}$ ${\left(1 \right)}$
Gọi ${H}$ là hình chiếu của ${I}$ trên mặt phẳng ${\left(A B C \right)}$.
Khi đó giao tuyến của ${\left(A B C \right)}$ với mặt cầu ${\left(S \right)}$ là đường tròn tâm ${H}$ có bán kính ${r=4}$.
Ta có ${IH=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3 \quad}$ ${\left(2 \right)}$
Vì ${I H \perp \left(A B C \right)}$ và ${M \in \left(A B C \right)}$ nên ${I M \geq I H}$ ${\left(3 \right)}$
Từ ${\left(1 \right)}$, ${\left(2 \right)}$ ta có ${I M=I H=3}$. Do đó ${\left(3 \right)}$ phải xảy ra đẳng thức hay $M\equiv H$.
Khi đó ${I M \perp \left(A B C \right)}$ nên $\overrightarrow{MI}=\left( 1;2;2 \right)$ là vectơ pháp tuyến của ${\left(A B C \right)}$, suy ra phương trình mặt phẳng ${\left(A B C \right)}$ là $\left( x-1 \right)+2\left( y+1 \right)+2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+2z-1=0$.
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{a}=1 \\
& \dfrac{1}{b}=2 \\
& \dfrac{1}{c}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=c=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ a+b+c=2$.
Khi đó phương trình mặt phẳng ${\left(A B C \right)}$ là ${\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1}$.
Vì ${\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1}$ nên mặt phẳng ${\left(A B C \right)}$ đi qua điểm ${M\left(1;-1;1 \right)}$ và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow {n}=\left(\dfrac{1}{a}; \dfrac{1}{b} ; \dfrac{1}{c}\right)}$.
Mặt cầu ${\left(S \right)}$ có tâm ${I\left(2;1;3 \right)}$ và bán kính ${R=5}$.
Ta có $\overrightarrow{MI}=\left( 1;2;2 \right)$ nên ${I M=3}$ ${\left(1 \right)}$
Gọi ${H}$ là hình chiếu của ${I}$ trên mặt phẳng ${\left(A B C \right)}$.
Khi đó giao tuyến của ${\left(A B C \right)}$ với mặt cầu ${\left(S \right)}$ là đường tròn tâm ${H}$ có bán kính ${r=4}$.
Ta có ${IH=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3 \quad}$ ${\left(2 \right)}$
Vì ${I H \perp \left(A B C \right)}$ và ${M \in \left(A B C \right)}$ nên ${I M \geq I H}$ ${\left(3 \right)}$
Từ ${\left(1 \right)}$, ${\left(2 \right)}$ ta có ${I M=I H=3}$. Do đó ${\left(3 \right)}$ phải xảy ra đẳng thức hay $M\equiv H$.
Khi đó ${I M \perp \left(A B C \right)}$ nên $\overrightarrow{MI}=\left( 1;2;2 \right)$ là vectơ pháp tuyến của ${\left(A B C \right)}$, suy ra phương trình mặt phẳng ${\left(A B C \right)}$ là $\left( x-1 \right)+2\left( y+1 \right)+2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow x+2y+2z-1=0$.
Do đó $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{a}=1 \\
& \dfrac{1}{b}=2 \\
& \dfrac{1}{c}=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=c=\dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ a+b+c=2$.
Đáp án A.