Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm $A\left( 1;-7;-8 \right)$, $B\left( 2;-5;-9 \right)$ sao cho khoảng cách từ $M\left( 7;-1;-2 \right)$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất có 1 vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b;4).$ Giá trị của tổng $a+b$ là
A. $2.$
B. $-1.$
C. $6.$
D. $3.$
A. $2.$
B. $-1.$
C. $6.$
D. $3.$
Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB$ và $\left( P \right)$ $\Rightarrow d\left( M;(P) \right)=MK$
Ta có $\Delta MHK$ vuông tại $M\Rightarrow MK\le MH$
$\Rightarrow d{{\left( M;(P) \right)}_{\max }}\Leftrightarrow MK=MH\Leftrightarrow K\equiv H$
Khi đó $MH\bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{MH}$ là 1 VTPT của (P).
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;2;-1 \right)\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $AB$ :
$\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+7}{2}=\dfrac{z+8}{-1}\Rightarrow H\left( t+1;2t-7;-t-8 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MH}=(t-6;2t-6;-t-6)\bot \overrightarrow{AB}$
$\Rightarrow 1.(t-6)+2.(2t-6)-1.(-t-6)=0$
$\Leftrightarrow 6t-12=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow \overrightarrow{MH}=(-4;-2;-8)=-2(2;1;4)$
$\Rightarrow a=2;b=1\Rightarrow a+b=3$.
Ta có $\Delta MHK$ vuông tại $M\Rightarrow MK\le MH$
$\Rightarrow d{{\left( M;(P) \right)}_{\max }}\Leftrightarrow MK=MH\Leftrightarrow K\equiv H$
Khi đó $MH\bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{MH}$ là 1 VTPT của (P).
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 1;2;-1 \right)\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $AB$ :
$\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+7}{2}=\dfrac{z+8}{-1}\Rightarrow H\left( t+1;2t-7;-t-8 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MH}=(t-6;2t-6;-t-6)\bot \overrightarrow{AB}$
$\Rightarrow 1.(t-6)+2.(2t-6)-1.(-t-6)=0$
$\Leftrightarrow 6t-12=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow \overrightarrow{MH}=(-4;-2;-8)=-2(2;1;4)$
$\Rightarrow a=2;b=1\Rightarrow a+b=3$.
Đáp án D.