Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$ và vuông góc với mặt phẳng $Oxy$ có phương trình là
A. $x-2y+5=0$
B. $2x-y-3=0$
C. $2x-y+1=0$
D. $2x+y-5=0$
A. $x-2y+5=0$
B. $2x-y-3=0$
C. $2x-y+1=0$
D. $2x+y-5=0$
Cách giải:
Đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right).$
Mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right).$
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{P}}}$ là 1 VTPT của $\left( P \right).$ Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right)\supset d \\
& \left( P \right)\bot \left( Oxy \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{1}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right]=\left( 2;-1;0 \right).$
Lấy $M\left( 1;3;2 \right)\in d\Rightarrow M\in \left( P \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $2\left( x-1 \right)-1.\left( y-3 \right)=0\Leftrightarrow 2x-y+1=0.$
Đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-2}{-1}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;2;-1 \right).$
Mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right).$
Gọi $\overrightarrow{{{n}_{P}}}$ là 1 VTPT của $\left( P \right).$ Vì $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right)\supset d \\
& \left( P \right)\bot \left( Oxy \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{1}}} \\
& \overrightarrow{{{n}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{1}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right]=\left( 2;-1;0 \right).$
Lấy $M\left( 1;3;2 \right)\in d\Rightarrow M\in \left( P \right).$
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $2\left( x-1 \right)-1.\left( y-3 \right)=0\Leftrightarrow 2x-y+1=0.$
Đáp án C.