Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng $\left( P \right):ax+by+cz-9=0$ (với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne )$ đi qua hai điểm $A\left( 3; 2; 1...

Phương pháp:
- Tìm 1 VTPT của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right].$
- Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}\left( A;B;C \right)$ là: $A\left( x-{{x}_{0}} \right)+B\left( y-{{y}_{0}} \right)+C\left( z-{{z}_{0}} \right)=0.$
- Xác định $a,b,c$ sau đó tính $S.$
Cách giải:
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -6;3;1 \right),\overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left( 3;1;1 \right).$
Do mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A,B$ và vuông góc với mặt phẳng $Q$ nên $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right]=\left( 2;9;-15 \right).$
Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $2\left( x-3 \right)+9\left( y-2 \right)-15\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x+9y-15z-9=0.$
$\Rightarrow a=2,b=9,c=-15.$
Vậy $S=a+b+c=2+9-15=-4.$