Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{-1}$ và cắt các trục $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho đường thẳng $AB$ vuông góc với $d$. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là
A. $x+2y+5z-5=0$.
B. $x+2y+5z-4=0$.
C. $x+2y-z-4=0$.
D. $2x-y-3=0$.
A. $x+2y+5z-5=0$.
B. $x+2y+5z-4=0$.
C. $x+2y-z-4=0$.
D. $2x-y-3=0$.
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-1 \right)$, $\left\{ \begin{aligned}
& A\in Ox\Rightarrow A\left( a;0;0 \right) \\
& B\in Oy\Rightarrow B\left( 0;b;0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -a;b;0 \right)$.
Theo đề bài $AB\bot d\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow -a+2b=0\Leftrightarrow a=2b\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2b;b;0 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( -2;1;0 \right)$ là một VTCP của $AB$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{u}=\left( -2;1;0 \right) \\
& \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -1;-2;-5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;2;5 \right) $ là một VTPT của $ \left( P \right)$.
Kết hợp với $\left( P \right)$ qua $M\left( 2;1;0 \right)\in d\Rightarrow \left( P \right):\left( x-2 \right)+2\left( y-1 \right)+5z=0\Leftrightarrow x+2y+5z-4=0$.
& A\in Ox\Rightarrow A\left( a;0;0 \right) \\
& B\in Oy\Rightarrow B\left( 0;b;0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -a;b;0 \right)$.
Theo đề bài $AB\bot d\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow -a+2b=0\Leftrightarrow a=2b\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( -2b;b;0 \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( -2;1;0 \right)$ là một VTCP của $AB$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{u}=\left( -2;1;0 \right) \\
& \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( -1;-2;-5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left( 1;2;5 \right) $ là một VTPT của $ \left( P \right)$.
Kết hợp với $\left( P \right)$ qua $M\left( 2;1;0 \right)\in d\Rightarrow \left( P \right):\left( x-2 \right)+2\left( y-1 \right)+5z=0\Leftrightarrow x+2y+5z-4=0$.
Đáp án C.