Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $M\left( 2;1;1 \right)$, cắt và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\dfrac{x-2}{-2}=\dfrac{y-8}{1}=\dfrac{z}{1}$. Tìm tọa độ giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( Oyz \right)$.
A. $\left( 0;-3;1 \right)$.
B. $\left( 0;3;-5 \right)$.
C. $\left( 1;0;0 \right)$.
D. $\left( 0;-5;3 \right)$.
A. $\left( 0;-3;1 \right)$.
B. $\left( 0;3;-5 \right)$.
C. $\left( 1;0;0 \right)$.
D. $\left( 0;-5;3 \right)$.
Gọi $N$ là giao điểm của $d$ và $\Delta $, suy ra: $N\left( 2-2t;8+t;t \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left( -2t;7+t;-1+t \right),\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -2;1;1 \right)$.
Vì $d\bot \Delta $ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow 4t+7+t-1+t=0\Leftrightarrow t=-1$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 2;6-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;3;-1 \right)$.
Do đó phương trình đường thẳng $d$ : $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+3t \\
& z=1-t \\
\end{aligned} \right.;t\in \mathbb{R}$.
Mà phương trình mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ là $x=0$.
Vậy giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ là $\left( 0;-5;3 \right)$.
Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left( -2t;7+t;-1+t \right),\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -2;1;1 \right)$.
Vì $d\bot \Delta $ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow 4t+7+t-1+t=0\Leftrightarrow t=-1$ $\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( 2;6-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;3;-1 \right)$.
Do đó phương trình đường thẳng $d$ : $\left\{ \begin{aligned}
& x=2+t \\
& y=1+3t \\
& z=1-t \\
\end{aligned} \right.;t\in \mathbb{R}$.
Mà phương trình mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ là $x=0$.
Vậy giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ là $\left( 0;-5;3 \right)$.
Đáp án D.