Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0$ là phương trình của mặt cầu?
A. $6.$
B. $5.$
C. $7.$
D. $4.$
A. $6.$
B. $5.$
C. $7.$
D. $4.$
Xét phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0$ có dạng
& -2a=4 \\
& -2b=-2 \\
& -2c=2 \\
& d=m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=1 \\
& c=-1 \\
& d=m \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0$ là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-m>0\Leftrightarrow m<6.$
Mà $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}.$
Vậy có $5$ giá trị nguyên dương của $m$ thỏa đề.
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$
Từ đó, suy ra $\left\{ \begin{aligned}& -2a=4 \\
& -2b=-2 \\
& -2c=2 \\
& d=m \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=1 \\
& c=-1 \\
& d=m \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0$ là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0\Leftrightarrow {{\left( -2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}-m>0\Leftrightarrow m<6.$
Mà $m$ nguyên dương nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}.$
Vậy có $5$ giá trị nguyên dương của $m$ thỏa đề.
Đáp án B.