Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz,$ cho tứ diện $ABCD$ với $A\left( 3;4;0 \right),B\left( 2;5;4 \right),C\left( -1;1;1 \right),D\left( 3;5;3 \right).$ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.
A. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=9$
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$
C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$
D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$
A. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=9$
B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$
C. ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$
D. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$
Cách giải:
Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có dạng:
$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$ $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)$
Vì $A,B,C,D\in \left( S \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 9+16-6a-8b+d=0 \\
& 4+25+16-4a-10b-8c+d=0 \\
& 9+25+9-6a-10b-6c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=3 \\
& c=2 \\
& d=5 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-6y-4z+5=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$
Gọi phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có dạng:
$\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0$ $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0 \right)$
Vì $A,B,C,D\in \left( S \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned}
& 9+16-6a-8b+d=0 \\
& 4+25+16-4a-10b-8c+d=0 \\
& 9+25+9-6a-10b-6c+d=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=3 \\
& c=2 \\
& d=5 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-6y-4z+5=0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$
Đáp án B.