Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với $A\left( 1;2;-1...

Gọi đường thẳng đi qua chân đường phân giác trong góc B của tam giác và vuông góc với $\left( ABC \right)$ là $\Delta $.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 0;-3;4 \right);\overrightarrow{BC}=\left( -6;3;2 \right);\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \right]=\left( -18;-24;-18 \right)$.
$AB=\sqrt{{{0}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=5;BC=\sqrt{{{\left( -6 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=7$.
Gọi $K\left( x;y;z \right)$ là chân đường phân giác trong góc B, ta có
$\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow \overrightarrow{KA}=-\dfrac{AB}{BC}\overrightarrow{KC}\Leftrightarrow \overrightarrow{KA}=-\dfrac{5}{7}\overrightarrow{KC}$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-x=-\dfrac{5}{7}\left( -5-x \right) \\
& 2-y=-\dfrac{5}{7}\left( 2-y \right) \\
& -1-z=-\dfrac{5}{7}\left( 5-z \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{3}{2} \\
& y=2 \\
& -z=\dfrac{3}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow K\left( -\dfrac{3}{2};2;\dfrac{3}{2} \right)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $ là $\overrightarrow{u}=\left( 3;4;3 \right)$. Phương trình $\Delta $ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{3}{2}+3t \\
& y=2+4t \\
& z=\dfrac{3}{2}+3t \\
\end{aligned} \right.$.